Aufgabe:
Es seien \( a<b \) und \( f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) integrierbar. Zeigen Sie:
(a) Gilt \( f(x) \leq g(x) \) für alle \( x \in[a, b] \), so ist auch
\( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x \leq \int \limits_{a}^{b} g(x) d x \)
(b) Sind \( f \) und \( g \) stetig mit \( f(x) \leq g(x) \) für alle \( x \in[a, b] \) und existiert ein \( x^{\prime} \in[a, b] \) mit \( f\left(x^{\prime}\right)<g\left(x^{\prime}\right) \), so gilt
\( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x<\int \limits_{a}^{b} g(x) d x \)
(c) Es seien \( m, M \in \mathbb{R} \) mit \( m \leq f(x) \leq M \) für alle \( x \in[a, b] \). Dann gilt
\( m(b-a) \leq \int \limits_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a) \)
