Integralrechnung. Sei f(x) ≤ g(x) in [a,b]. Beweise dieselbe Ungleichung für das bestimmte Integral.

Question

Aufgabe:

Es seien \( a<b \) und \( f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) integrierbar. Zeigen Sie:

(a) Gilt \( f(x) \leq g(x) \) für alle \( x \in[a, b] \), so ist auch

\( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x \leq \int \limits_{a}^{b} g(x) d x \)

(b) Sind \( f \) und \( g \) stetig mit \( f(x) \leq g(x) \) für alle \( x \in[a, b] \) und existiert ein \( x^{\prime} \in[a, b] \) mit \( f\left(x^{\prime}\right)<g\left(x^{\prime}\right) \), so gilt

\( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x<\int \limits_{a}^{b} g(x) d x \)

(c) Es seien \( m, M \in \mathbb{R} \) mit \( m \leq f(x) \leq M \) für alle \( x \in[a, b] \). Dann gilt

\( m(b-a) \leq \int \limits_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a) \)

Answer 1

Zu a) Für die Funktion h(x) = g(x) - f(x) gilt nach Voraussetzung h(x) ≥ 0. Damit ist auch :

$$\int \limits_{a}^{b}h(x)dx \geq 0 \text{ und somit } \int \limits_{a}^{b}(g(x)-f(x))dx \geq 0 \text{ und weiter } \int \limits_{a}^{b}g(x)dx \geq \int \limits_{a}^{b}f(x)dx$$

Zu b) Für x‘ gilt g(x‘) > f(x‘) und somit h(x‘) > 0.

Auf Grund der Stetigkeit ist h(x) auf einem Intervall [x‘-€, x‘+€] innerhalb [a,b] echt größer Null. Damit ist auch

$$ \int \limits_{a}^{b}h(x)dx \gt 0$$ woraus die Behauptung folgt.

Zu c) Es sei m ≤ f(x) ≤ M für alle x ∈ [a,b]

Damit gilt nach a)

$$\int \limits_{a}^{b}mdx \leq \int \limits_{a}^{b}f(x)dx \leq \int \limits_{a}^{b}Mdx$$

und damit

$$m(b-a) \leq \int \limits_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b-a)$$