Gegeben sei die Ungleichung x^2/y + y^2/x >= x + y für alle x,y > 0

Question

Aufgabe:gegeben sei die Ungleichung x^2 / y + y^2 /x >= y +x Beweisen Sie das für alle x,y >0

Problem/Ansatz: Ich bräuchte da eine Denkanstoss, ich habe die Ungleichung mal mit xy multipliziert um den Bruch raus zukriegen und auf der linken Seite ausgeklammert, dann komme ich auf

X^3 + y^3 >= xy(x+y)

weiter bin ich jetzt nicht gekommen, ich brauche da wohl einen schubser

Comments

Tipp: (x - y)²·(x + y) ≥ 0 für alle x,y > 0.

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Danke mal für deine Antwort, aber wie kommst du auf diese Ungleichung?

Ich habe darüber gegrübelt und auf keinen grünen Zweig gekommen

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Die Summe zweier positiven reellen Zahlen (hier x+y) ist immer positiv. Das Quadrat einer reellen Zahl (hier (x-y)²) ist immer nichtnegativ. Das Produkt zweier nichtnegativen reellen Zahlen ist immer nichtnegativ.

Answer 1

dann komme ich auf x³ + y³ >= xy(x+y).

Dann geht es so weiter:

x³ + y³ >= x²y+xy²

x³-x²y+y³-xy²≥0

x²(x-y)+y²(y-x)≥0

x²(x-y)-y²(x-y)≥0

(x²-y²)(x-y)≥0

(x-y)(x+y)(x-y)≥0

(x-y)²(x+y)≥0

(x-y)² ist nie negativ, x+y ist positiv für alle x,y >0