Question

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass die folgende Summenformel gilt.

\( \sum \limits_{i=1}^{n}(2 i-1)=n^{2} \)

Answer 1

Σ (i = 1 bis n) (2·i - 1) = n^2

Zeigen das es für n = 1 gilt

Σ (i = 1 bis 1) (2·i - 1) = n^2
2·1 - 1 = 1^2
1 = 1

Nun zeigen das es für n + 1 stimmt wenn es für n stimmt

Σ (i = 1 bis n + 1) (2·i - 1) = (n + 1)^2
Σ (i = 1 bis n) (2·i - 1) + (2·(n + 1) - 1) = (n + 1)^2
n^2 + (2·(n + 1) - 1) = (n + 1)^2
n^2 + 2·n + 1 = (n + 1)^2

Das stimmt auch laut binomischer Formel.