Question

Haben diese Folgen ein Supremum oder ein Infinum und wie lautet der Wert:

a. \( a_{n}=3-\frac{4}{n} \)

b. \( a_{n+1}=a_{n}-4 \)

Answer 1

a.

an = 3 - 4/n

n = 1
a1 = -1
-1 ist eine untere Schranke der Folge an und
keine Zahl > -1 ist eine untere Schranke von an,
denn für alle e > 0 gibt es ein x aus an mit
x < -1 + e, also ist -1 die größte untere Schranke, das Infimum der Folge an.

n = ∞
a∞ = 3

3 ist eine obere Schranke der Folge an und keine Zahl < 3
ist eine obere Schranke von an, denn für alle e > 0
gibt es ein x aus an mit x > 3 - e.
3 ist die kleinste obere Schranke, das Supremum der Folge an.

b.

Wie soll denn an starten, mit a1 = 1 ?
Dann ist
a2 = 1-4 = -3
a3 = -3 - 4 = -7
a4 = -7 - 4 = -11
usw.
Die Zahlen werden immer kleiner und darum existiert offensichtlich kein Infimum.
Es gibt aber ein Supremum sup an+1 = -3, was man wie bei a. zeigen kann.