Eigenschaften von Fibonacci-Zahlen

Question

Aufgabe:

Die Fibonacci-Zahlen Fk seien rekursiv definiert durch

Fk:=k(k=0,1)Fk+1:=Fk+Fk−1(k≥1).
Darüber hinaus bezeichnen wir mit
φ=1+5–√2 und ψ=1−5–√2
die beiden reellen Nullstellen des Polynoms X2−X−1.

1. Der Kehrwert einer der beiden Zahlen φ oder ψ ist das Negative der anderen.
2. Jede dritte Fibonacci-Zahl ist gerade.
3. Die Nachkommaziffern-Folgen der Dezimaldarstellung der beiden irrationalen Zahlen φ und ψ stimmen überein.
4. Der Grenzwert der Folge Fn+1Fn für n→∞ ist die Zahl φ.
5. Für alle n∈N0 gilt die Abschätzung Fn≤(32)n.
6. Für n>1 ist Fn diejenige natürliche Zahl, die am nächsten bei φn5√ liegt.

Comments

Hallo

ohne die Fibonacci Zahlen zu kennen könnte man sie bei dir nicht lesen.  etwa φ=1+5–√2=6-√2??

Fn+1Fn? was soll das sein? und das Fn≤(32)n?? oder das φn5√ ??

über Fibonacci gibt es so viel im Netz, dass du erstmal da suchst.

1) etwa kann man ja einfach nachrechnen!

2) nimm die ersten paar, dann siehst du warum

usw

was hast du bisher versucht?

lul

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φ = (1 + sqrt(5)) / 2

 ψ = (1 - sqrt(5)) / 2

Fn+1 / Fn

Fn <= (3/2)^n

1. richtig

2. richtig, da 2 aufeinanderfolgende Zahlen ungerade sind -> 3. Zahl gerade

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F_n ≤ (3/2)ⁿ gilt nicht für alle n ∈ ℕ₀. Für n > 10 gilt F_n > (3/2)ⁿ.

Answer 1

Die beiden reellen Nullstellen des Polynoms X²−X−1 sind  φ=(1+√5)/2 und ψ=(1−√5)/2.

Was ist denn jetzt die Frage?

Unter anderem sind (mit dieser Korrektur) die Aussagen 1.bis 4. wahr.

zu 6. ist die Aussage nicht lesbar.

Comments

6. Für n>1 ist Fn diejenige natürliche Zahl, die am nächsten bei φ^n / sqrt(5) liegt

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Dann ist auch 6. eine wahre Aussage.

Answer 2

φ = (1 + sqrt(5)) / 2

 ψ = (1 -sqrt(5)) / 2

φ*ψ

= (1 + sqrt(5)) / 2   *   (1-sqrt(5)) / 2

= (1 + sqrt(5)) * (1-sqrt(5)) / 4

=(1-5)/4

=-4/4

=-1