Aufgabe zur Normalverteilung

Question

Aufgabe:

Eine Metallhobelmaschine stellt Platten her, deren Dicke X (in mm) untersucht wird. Es kann
angenommen werden, dass X normalverteilt ist und bei einer bestimmten Maschineneinstellung
den Erwartungswert µ = 10 mm und die Varianz s2 = (0.02 mm)^2 besitzt.

Wieviel Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Platten
a) mindestens 9.97 mm stark sein sollen?
b) höchstens 10.05 mm stark sein sollen?
c) um maximal ± 0.03 mm vom Sollwert 10 mm abweichen sollen?
d) Wie muss man die Toleranzgrenzen 10c und 10+c wählen, damit man nicht mehr als 5 %
Ausschuss erhält?

Link zu Tabelle bezüglich der Standardnormalverteilung:

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe und bei (c) habe ich kein Ansatz wie ich da verfahren soll.

(a)

\( P(X \geq 9,97) = 1 - P(X \leq 9,97) = 1 - Φ (\frac{9,97 -10}{0,02}) = 1 - Φ(-1,5) = 1 - (1- Φ(1,5)) \approx 1 - (1- 0,9332) = 0,9332\)

(b)

\( P(X \leq 10,05) = Φ (\frac{10,05 -10}{0,02}) =  Φ(2,5) \approx 0,9938 \)

(c)

\( P(X \geq 9,97 \land X \leq 10,03)  = ? \)

(d)

\(  Φ(z)= 0,05 \Longrightarrow z = 0 \\ 0 = \frac{( 10 +- c) -10}{0.02} \Longrightarrow c = 0 ? \)

Comments

Habe die Lösung für (c) gefunden:

\(  P( 9,97 \leq X \geq 10,03) = Φ(\frac{10,03 - 10}{0,02}) - Φ(\frac{9,97 - 10}{0,02}) \\ = Φ(1,5) - Φ(-1,5) = Φ(1,5) - (1 - Φ(1,5)) \approx 0,9332 - (1-0,9332) = 0,8664 \)

Answer 1

Aloha :)

Bei der Normalisierung musst du die Standardabweichung einsetzen, nicht die Varianz:$$\mu=10\quad;\quad\sigma^2=0,02=\frac{2}{100}\implies\sigma=\frac{\sqrt2}{10}$$

Die ersten 3 Teilaufgaben funktionieren alle ähnlich:

$$P_a(X\ge9,97)=1-P(X<9,97)=1-\Phi\left(\frac{9,97-10}{\sqrt2/10}\right)=1-\Phi(-0,212132)$$$$\qquad=1-0,416002=0,583998\approx58,40\%$$

$$P_b(X\le10,05)=\Phi\left(\frac{10,05-10}{\sqrt2/10}\right)=\Phi(0,353553)=0,638163\approx63,82\%$$

$$P_c(9,97\le X\le10,03)=P(X\le10,03)-P(X<9,97)$$$$\qquad=\Phi\left(\frac{10,03-10}{\sqrt2/10}\right)-\Phi\left(\frac{9,97-10}{\sqrt2/10}\right)=\Phi(0,212132)-\Phi(-0,212132)$$$$\qquad=0,583998-0,416002=0,167996\approx16,80\%$$

Bei der letzten Teilaufgabe müssen wir "rückwärts" rechnen:

$$\left.P(10-c\le X\le10+c)=0,05\quad\right|\text{links zerlegen}$$$$\left.P(X\le10+c)-P(X<10-c)=0,05\quad\right|\text{normalisieren}$$$$\left.\Phi\left(\frac{(10+c)-10}{\sqrt2/10}\right)-\Phi\left(\frac{(10-c)-10}{\sqrt2/10}\right)=0,05\quad\right|\text{links vereinfachen}$$$$\left.\Phi\left(\frac{c}{\sqrt2/10}\right)-\Phi\left(\frac{-c}{\sqrt2/10}\right)=0,05\quad\right|\Phi(z)+\Phi(-z)=1\implies\Phi(-z)=1-\Phi(z)$$$$\left.\Phi\left(\frac{c}{\sqrt2/10}\right)-\left(1-\Phi\left(\frac{c}{\sqrt2/10}\right)\right)=0,05\quad\right|\text{links zusammenfassen}$$$$\left.2\Phi\left(\frac{c}{\sqrt2/10}\right)-1=0,05\quad\right|+1$$$$\left.2\Phi\left(\frac{c}{\sqrt2/10}\right)=1,05\quad\right|\colon2$$$$\left.\Phi\left(\frac{c}{\sqrt2/10}\right)=0,525\quad\right|\Phi^{-1}(\cdots)$$$$\left.\frac{c}{\sqrt2/10}=0,062708\quad\right|\cdot\frac{\sqrt2}{10}$$$$c=0,062708\cdot\frac{\sqrt2}{10}=0,008868$$

Comments

Vielen Dank für deine Ansätze.

In der Aufgabenstellung war allerdings die Varianz folgendermaßen angegeben.

σ^2 = (0.02 mm)^2 = sqrt(0,02^2) = 0,02 

Answer 2

Wieviel Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Platten

a) mindestens 9.97 mm stark sein sollen?

P(X ≥ 9,97) = 1 - Φ((9,97 - 10) / 0,02) = 1 - Φ(-1,49999999999997) = 1 - 0,0668 = 0,9332

b) höchstens 10.05 mm stark sein sollen?

P(X ≤ 10,05) = Φ((10,05 - 10) / 0,02) = Φ(2,50000000000004) = 0,9938

c) um maximal ± 0.03 mm vom Sollwert 10 mm abweichen sollen?

P(9,97 ≤ X ≤ 10,03) = Φ((10,03 - 10) / 0,02) - Φ((9,97 - 10) / 0,02) = Φ(1,49999999999997) - Φ(-1,49999999999997) = 0,9332 - 0,0668 = 0,8664

d) Wie muss man die Toleranzgrenzen 10c und 10+c wählen, damit man nicht mehr als 5% Ausschuss erhält?

P(9,9608 ≤ X ≤ 10,0392) = Φ((10,0392 - 10) / 0,02) - Φ((9,9608 - 10) / 0,02) = Φ(1,95999999999996) - Φ(-1,95999999999996) = 0,975 - 0,025 = 0,95