Zeigen Sie, dass sich jedes v ∈ V eindeutig als v=u+w für ein u ∈ U und ein w ∈ W darstellen lässt.

Question

Es sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \) -Vektorraum und \( U, W \leq V \) mit \( V=U \oplus W \). Zeigen Sie, dass sich jedes \( v \in V \) eindeutig als \( v=u+w \) für ein \( u \in U \) und ein \( w \in W \) darstellen lässt.

Answer 1

Hallo :-)

Bitte tippe deine Fragen künftig selber in die Fragebox rein. Das hat einfach den Sinn, dass du dir beim Eintippen nochmals Gedanken zur Problemstellung machst. Außerdem ist es hilfreich, wenn du zunächst deine eigenen Ansätze mit reinschreibst, sodass man gezielter auf deine konkreten Probleme zur Lösung der Aufgabe eingehen kann.

Nun zur Aufgabe. Nutze die Definition von der direkten Zerlegung von \( V=U \oplus W \). Welche zwei Eigenschaften erfüllen hier die beiden Untervektorräume \(U\) und \(W\)?

Daraus kannst du nämlich schonmal die Existenz einer Darstellung für alle \(v\in V\) durch \(v=u+w\) mit \(u\in U\) und \(w\in W\) ableiten. Für die Eindeutigkeit kannst du eine weitere Darstellung \(v=x+y\) mit \(x\in U\) und \(y\in W\) betrachten. Nutze jetzt die Eigenschaften, die \(U\) und \(W\) erfüllen.