Darstellungsmatrix bestimmen von f

Question

Es sei \( \mathcal{B}_{1}=\left\{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right\} \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \) und \( \mathcal{B}_{2}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \) die Basis mit
\( \vec{v}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \vec{v}_{2}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \vec{v}_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \text { . } \)
Weiter sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f(\vec{x})=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] \vec{x} \)
a) Berechnen Sie \( f_{\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{1}} \).
b) Berechnen Sie die Basiswechselmatrizen \( \mathrm{id}_{\mathcal{B}_{2}, \mathcal{B}_{1}} \) und \( \mathrm{id}_{\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2}} \).
c) Berechnen Sie \( f_{\mathcal{B}_{2}, \mathcal{B}_{2}} \) auf folgenden zwei Wegen:
(a) mit der Definition,
(b) mithilfe von \( f_{\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{1}} \) und den Basiswechselmatrizen.

Ich brauche bitte Hilfe mit den Ansätzen der Aufgabe. Ich kann nicht herausfinden wie ich fb1,b1 berechnen kann und wie ich fb2,b2 berechne...

Text erkannt:

Es sei \( \mathcal{B}_{1}=\left\{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right\} \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \) und \( \mathcal{B}_{2}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \) die Basis mit
$$ \vec{v}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \vec{v}_{2}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \vec{v}_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \text { . } $$
Weiter sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f(\vec{x})=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] \vec{x} \)
a) Berechnen Sie \( f_{\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{1}} \).
b) Berechnen Sie die Basiswechselmatrizen \( \mathrm{id}_{\mathcal{B}_{2}, \mathcal{B}_{1}} \) und \( \mathrm{id}_{\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2}} \).
c) Berechnen Sie \( f_{\mathcal{B}_{2}, \mathcal{B}_{2}} \) auf folgenden zwei Wegen:
(a) mit der Definition,
(b) mithilfe von \( f_{\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{1}} \) und den Basiswechselmatrizen.

Comments

Ein Ansatz für a) wäre auch schon eine riesen Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

a) Hier brauchst du nichts zu berechnen, es geht wohl eher um das Verständnis. Die gesuchte Abbildung \({_{B1}}f_{B1}\) erwartet rechts als Eingangsgrößen Objekte, deren Koordinaten bezüglich der Basis \(B1\) angegeben sind, und liefert links als Ausgangsgrößen Objekte, deren Koordinaten ebenfalls bezüglich der Basis \(B1\) angegeben sind. Das ist aber genau die angegebene Abbildungsmatrix:

$${_{B1}}\mathbf F_{B1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\0 & 2 & 1\\0 & 0 & 3\end{array}\right)$$

b) Da die Koordinaten der Vektoren von \(B2\) bezüglich der Standardbasis \(B1\) angegeben sind, können wir die Basiswechselmatrix von \(B2\) nach \(B1\) sofort hinschreiben:$${_{B1}}\mathbf{id}_{B2}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$In die umgekehrte Richtung geht es mit der Inversen:$${_{B2}}\mathbf{id}_{B1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

c) Bei der Berechnung von \({_{B2}}\mathbf F_{B2}\) kann ich dich nur beim zweiten Schritt unterstützen, weil ich eure Definition nicht kenne.

$${_{B2}}F_{B2}={_{B2}}\mathbf{id}_{B1}\cdot{_{B1}}F_{B1}\cdot{_{B1}}\mathbf{id}_{B2}$$$$\phantom{{_{B2}}F_{B2}}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\0 & 2 & 1\\0 & 0 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{{_{B2}}F_{B2}}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\right)$$

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