Aufgabe:
Der Faktorring \( V:=\mathbb{R}[X] /\left\langle X^{3}+X+1\right\rangle \) ist mit der gewöhnlichen Addition und der durch
\( \mathbb{R} \times V \rightarrow V,(r, \bar{f}) \mapsto \bar{r} \cdot \bar{f} \)
(wobei \( f \in \mathbb{R}[X] \) und \( \bar{f} \) bzw. \( \bar{r} \) die Äquivalenzklasse von \( f \) bzw. \( r \) in \( V \) bezeichne) definierten Skalarmultiplikation ein \( \mathbb{R} \) -Vektorraum. (Sie brauchen dies nicht nachzuweisen.)
(a) Zeigen Sie, dass \( B:=\left(\overline{1}, \bar{X}, \bar{X}^{2}\right) \) eine \( \mathbb{R} \) -Basis von \( V \) ist.
(b) Stellen Sie \( \bar{f} \cdot \bar{g} \) als Linearkombination der Basisvektoren in \( B \) dar, wobei \( f=X^{10}+X^{8}+ \) \( X^{7}+X+1 \) und \( g=2 X^{2}+3 X+2 \)
(c) Betrachten Sie die Abbildung
\( \psi: V \rightarrow V, \bar{f} \mapsto \bar{X} \cdot \bar{f} \)
Sie dürfen (ohne Beweis) annehmen, dass die Abbildung wohldefiniert und \( \mathbb{R} \) -linear ist. Berechnen Sie die Matrixdarstellung \( M_{B, B}(\psi) \) von \( \psi \).
