Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basis B. f(x,y,z):= (x+y; y+z; z)

Question

Aufgabe:

$$f(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}{x+y} \\ {y+z} \\ {z}\end{array}\right)$$

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basis

$$B :=\left\{\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1} \\ {1}\end{array}\right)\right\}$$

Meine Lösung:

Answer 1

Hallo chanimo! :-)

$$f\begin{pmatrix}1 \\0  \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 \\0  \\ 0 \end{pmatrix}  = a\begin{pmatrix}1 \\0  \\ 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}-1 \\1  \\ 0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}1 \\-1  \\ 1 \end{pmatrix} \\a-b+c=1,b-c=0,c=0 \Rightarrow a=1,b=0,c=0 \\f\begin{pmatrix}-1 \\1  \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\1  \\ 0 \end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}1 \\0  \\ 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}-1 \\1  \\ 0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}1 \\-1  \\ 1 \end{pmatrix} \\a-b+c=0,b-c=1,c=0 \Rightarrow a=1,b=1,c=0 \\f\begin{pmatrix}1 \\-1  \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\0  \\ 1 \end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}1 \\0  \\ 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}-1 \\1  \\ 0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}1 \\-1  \\ 1 \end{pmatrix} \\a-b+c=0,b-c=0,c=1 \Rightarrow a=0,b=1,c=1 \\$$$$A = \begin{pmatrix}  1& 1 & 0\\  0& 1 & 1\\  0& 0 & 1 \end{pmatrix} $$Probe$$ \begin{pmatrix} 1& 1 & 0\\  0& 1 & 1\\  0& 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y  \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y \\y+z  \\ z\end{pmatrix} $$
Bingo! :-)

Beste Grüße