Aufgabe:
Sei $$R$$ ein Körper und $$f,g$$ in $$R$$ lineare Funktionen
Es gelte: $$f: R_4[X] \rightarrow R^3:f(\alpha + \beta X + \gamma X^2 + \delta X^3 + \epsilon X^4) = \left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta + \gamma \\ \delta - \epsilon \end{array} \right)$$
und $$g: R[X] \rightarrow R[X] : g(\sum^{n}_{i=0}{a_iX^i}) = a_0 + a_0X+a_0X^2$$ (n ist keine vorab fixierte Zahl)
(a) Bestimmen Sie eine Basis von $$\ker f$$
(b) Bestimmen Sie $$\dim_R g(R[X])$$ und $$\dim_R \ker g$$
Problem/Ansatz:
Ich komme irgendwie nicht weiter und weiß nicht ob ich nicht auf dem Holzweg bin:
Zu (a):
Nach ker: $$\alpha = 0, \beta + \gamma = 0, \delta - \epsilon = 0$$ kann ich das so sagen?
Daraus folgt:
$$0-\gamma X+\gamma X^2+ \epsilon X^3 + \epsilon X^4$$
Setze $$\gamma = 1$$ und $$\epsilon = 1$$
Also:
$$0-X+X^2+X^3+X^4$$
Also könnte eine Basis sein $$B=\{ 0,X,X^2,X^3,X^4\}$$
Hier bin ich mir nicht sicher und bei b weiß ich gar nicht weiter...
