Wie berechne ich diese Summe?

Question

Aufgabe:

Wie berechne ich folgende Summe? \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \) \( \frac{1}{k*(k+3)} \)

Problem/Ansatz:

Ich hatte die Idee erstmal die partialsumme

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{} \) \( \frac{1}{k*(k+3)} \)

zu betrachten.

Aber irgendwie komme ich nicht weiter. Ich habe die Summe auch zerlegt, um mir das ganze anschaulich zu machen. Dabei kommt für k=1 \( \frac{1}{4} \) für k=2 \( \frac{1}{10} \) und für k=3 \( \frac{1}{18} \) raus, aber das hilft mir nicht weiter.

Answer 1

Hallo

man macht eine Partialbruchzerlegung:

1/(k∗(k+3))=A/k+B/(k+3)

dann ändert man bei einem der 2 Den summationsanfang, und fas alles hebt sich weg. du kannst auch nach der Zerlegung die ersten paar Summanden hinschreiben, dann siehst du was passiert

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

$$S_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+3)}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{3}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+3}\right)=\frac{1}{3}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k+3}\right)$$$$\phantom{S_n}=\frac{1}{3}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=4}^n\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=4}^n\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)$$$$\phantom{S_n}=\frac{1}{3}\left(\frac{6+3+2}{6}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)=\frac{11}{18}-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)$$$$S_\infty=\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac{11}{18}$$