Stimmt meine Scheitelpunktform/Umkehrfunktion?

Question

geg. f(x)=0,05 x² .0,25x + 2    →Scheitelpunktform = F(x) = 0,05((x+2,5)²- 33,75


Rechnung:

y=0,05(x²+5x+40)

y=0,05(x²+5x +2,5²-2.5² +40)                      /quadratische ergänzung

y=0,05 ((x+2,5)² -2,5+40                              /1. binomische formel

--> F(x) = 0,05((x+2,5)²- 33,75


Nun soll ich die Umkehrfunktion bilden, da komme ich nicht auf das vorgegebene ergebnis....

meine Schritte:


y-33,75 = 0,05(x+2,5)²

√y-33,75 = 0,05x+2,5      (ab hier komme ich nicht mehr weiter)


ergebnis soll vollgendes ergeben:  f(x) = -2,5+ √6,25+20(x-2)

Answer 1

Bis einschließlich zur quadratische Ergänzung hast du alles richtig gemacht ... dann hast du leider etwas "geschludert".

y=0,05(x²+5x +2,5²-2.5² +40) 

y=0,05( ( x+2,5 ) ² -2.5² +40)

Ok, das war wohl nur ein Tippfehler. Nun aber musst du richtig ausmultiplizieren:

y=0,05 ( x+2,5 ) ² - 0,05 * 2.5² + 0,05 * 40

y=0,05 ( x+2,5 ) ² - 0,3125 + 2

y=0,05 ( x+2,5 ) ² +1,6875

 

Umkehrfunktion:

y=0,05 ( x+2,5 ) ² +1,6875

y - 1,6875=0,05 ( x+2,5 ) ²

( y - 1,6875 ) / 0,05 = ( x + 2,5 ) ²

x + 2,5 = √ ( ( y - 1,6875 ) / 0,05 )

x = √ ( ( y - 1,6875 ) / 0,05 ) - 2,5

x = √ ( 20 y - 33,75 ) - 2,5

Das würde ich so stehen lassen, aber man kann es auch schreiben als:

x = - 2,5 + √ ( 20 y - 40 + 6,25 )

x = - 2,5 + √ ( 6,25 + 20  ( y - 2 ) )

Manchmal werden nun noch die Variablenbezeichnungen vertauscht, damit die Umkehrfunktion auch eine Funktion von eine Variablen x ist. Ganz korrekt ist das aber nicht, denn die Umkehrfunktion einer Funktion y = g ( x ) ist eine Funktion x = f ( y )

Mit vertauschten Variablenbezeichnungen sieht die Umkehrfunktion dann so aus:

 y = - 2,5 + √ ( 6,25 + 20  ( x - 2 ) )

und damit hat man das vorgegebene Ergebnis.

Comments

vielen dank. ich werde es nochmal probieren.

Answer 2

y = 0.05·x^2 + 0.25·x + 2
y = 0.05·(x^2 + 5·x) + 2
y = 0.05·(x^2 + 5·x + 2.5^2 - 2.5^2) + 2
y = 0.05·((x + 2.5)^2 - 6.25) + 2
y = 0.05·(x + 2.5)^2 + 1.6875

Umkehrfunktion

y = √((x - 1.6875)/0.05) - 2.5
y = - √((x - 1.6875)/0.05) - 2.5

Skizze: