Berechnen Sie den Stromfluss durch K auf zwei verschiedene Arten, einmal direkt und mit dem Satz von Stokes

Question

Aufgabe:

Gegeben sei ein Magnetfeld B(x; y; z) = (−y; x; 0)^T und eine Kreisscheibe K in der Ebene
z = 10 mit Radius r = 5 und Mittelpunkt (0; 0; 10). (Für Magnetfeld und Stromfluss
gilt der Zusammenhang ∇ × B = 4c/π I. Das folgt aus den Maxwell-Gleichungen in Gauß-
Einheiten. Hier ist c die Lichtgeschwindigkeit und I der Stromfluss (Vektor!) pro Fläche.)
Berechnen Sie den Stromfluss durch K auf zwei verschiedene Arten, einmal direkt und
einmal mit dem Satz von Stokes.

Ansatz:

Um es zu berechnen kann man direkt in die Definition eines Kurvenintegrals einsetzen.

I=∇ × B *c/(4π)

Ich nehme folgende Parametrisierung:

\( \begin{pmatrix} 5cos(t)\\5sin(t)\\10 \end{pmatrix} \)

I kann ich mir berechnen hierbei bekomme ich \( \begin{pmatrix} 0\\0\\2*(c/4π) \end{pmatrix} \)

\( \int\limits_{C}^{} \) F ds = \( \int\limits_{0}^{2π} \) ( I * \( \begin{pmatrix} -5sin(t)\\5cos(t)\\0 \end{pmatrix} \)) , wobei I = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\2*(c/4π) \end{pmatrix} \) ist.

Das Skalarprodukt ist aber 0, was ich nicht glaube.

Was mache ich falsch ??

Und nach Stokes würde ja für Nabla I ja 0  raus kommen.

Wie kann ich das da angehen?

Answer 1

Aloha :)

$$\vec B=\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\10\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;5]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$

Den Proportionalitätsfaktor lasse ich bei der Rechnung weg, bisschen weniger Tipparbeit.

a) Wir rechnen zunächst über die Rotation:

$$I\propto\int\limits_K(\operatorname{rot}\vec B)d\vec f=\int\limits_{r=0}^5\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left[\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}\right]\cdot\left[\left(\frac{\partial \vec r}{\partial r}dr\right)\times\left(\frac{\partial \vec r}{\partial \varphi}d\varphi\right)\right]$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^5\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\cdot\left[\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}dr\,d\varphi\right]$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^5\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^5\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}2r\,dr\,d\varphi=2\pi\left[r^2\right]_{r=0}^5=50\pi$$

b) Nun rechnen wir mit dem Wegintegral über den Rand, also wird \(r=5\) festgehalten:

$$I\propto\int\limits_{\partial K}\vec B\,d\vec r=\!\!\int\limits_{0}^{2\pi}\!\vec B(\varphi)\frac{d\vec r}{d\varphi}d\varphi=\!\!\int\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}-5\sin\varphi\\5\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5\sin\varphi\\5\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi\!\!=\int\limits_0^{2\pi}\!25\,d\varphi=50\pi$$

Comments

Der Stromfluss durch K ist also einfach der Stromfluss durch den Rand des Kreises oder?

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Das ist genau die Aussage des Stoke'schen Satzes:$$d\vec f\times\vec\nabla=d\vec r$$Anstatt des Flusses durch die Fläche kannst du damit mit Hilfe des Nabla-Operators eine Integration über den Rand der Fläche durchführen.