Aufgabe:
Gegeben sei ein Magnetfeld B(x; y; z) = (−y; x; 0)^T und eine Kreisscheibe K in der Ebene
z = 10 mit Radius r = 5 und Mittelpunkt (0; 0; 10). (Für Magnetfeld und Stromfluss
gilt der Zusammenhang ∇ × B = 4c/π I. Das folgt aus den Maxwell-Gleichungen in Gauß-
Einheiten. Hier ist c die Lichtgeschwindigkeit und I der Stromfluss (Vektor!) pro Fläche.)
Berechnen Sie den Stromfluss durch K auf zwei verschiedene Arten, einmal direkt und
einmal mit dem Satz von Stokes.
Ansatz:
Um es zu berechnen kann man direkt in die Definition eines Kurvenintegrals einsetzen.
I=∇ × B *c/(4π)
Ich nehme folgende Parametrisierung:
\( \begin{pmatrix} 5cos(t)\\5sin(t)\\10 \end{pmatrix} \)
I kann ich mir berechnen hierbei bekomme ich \( \begin{pmatrix} 0\\0\\2*(c/4π) \end{pmatrix} \)
\( \int\limits_{C}^{} \) F ds = \( \int\limits_{0}^{2π} \) ( I * \( \begin{pmatrix} -5sin(t)\\5cos(t)\\0 \end{pmatrix} \)) , wobei I = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\2*(c/4π) \end{pmatrix} \) ist.
Das Skalarprodukt ist aber 0, was ich nicht glaube.
Was mache ich falsch ??
Und nach Stokes würde ja für Nabla I ja 0 raus kommen.
Wie kann ich das da angehen?