Lineare Algebra, Pyramide

Question

Aufgabe:

Es gibt einen Punkt P0, sodass der Flächeninhalts des Stoffsegels minimal wird. Bestimmten Sie diesen Fall in Koordinaten von P0 auf zwei Nachkommastellen genau und berechnen sie näherungsweise den Flächeninhalt des Stoffsegels.

Problem/Ansatz:

Man hat eine Pyramide die sind aus den Punkten A(5,1,3), B(5,1,3), C(7,4,3) und S(5,3,6) zusammensetzt. Bei C und B ist das Segel fest und nun soll ich auf Strecke AS den Punkt P0 finden, sodass das der Flächeninhalt des Stoffsegels minimal wird.

Comments

A(5,1,3), B(5,1,3) ?

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Du hast etwas falsch abgeschrieben. Die Punkte A und B haben dieselben Koordinaten.

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Tut mir leid A ist richtig und B(3,4,3) wäre es dann

Answer 1

P auf \( \vec{AS} \) hat die Koordinaten (0|2r|3r) ; dann ist \( \vec{PB} \)=\( \begin{pmatrix} 3\\4-2r\\3-3r \end{pmatrix} \) und \( \vec{PC} \)=\( \begin{pmatrix} 7\\4-2r\\3-3r \end{pmatrix} \). f(r)=0,5·|\( \vec{PB} \) ×\( \vec{PC} \)|.

f '(r) mit Hilfe von f ''(r) auf Miimum untersuchen.

Answer 2

Hallo,

M ist Mittelpunkt der Strecke BC

Die kürzeste Strecke zwischen P und M erhältst du, wenn sie senkrecht zu der Geraden durch AS ist.

Gleichung der Geraden durch A und S

\(g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 5\\1\\3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0\\2\\3 \end{pmatrix}\)

Mittelpunkt der Strecke BC M ( 5|4|3)

Verbindungsvektor MP aufstellen:

\(\overrightarrow{MP}=\begin{pmatrix} 5-5\\1+2r-4\\3+3r-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-3+2r\\3r \end{pmatrix}\)

Parameter r aus der Bedingung \(\overrightarrow{MP}\circ\vec{u}=0\) bestimmen.

\(r=\frac{6}{13}\)

In die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten von P zu bestimmen, ergibt

\(P\;(5|\frac{25}{13}|\frac{57}{13})\)

Gruß, Silvia

Comments

Die kürzeste Strecke zwischen P und M erhältst du, wenn sie senkrecht zu der Geraden durch AS ist.

Dies Verfahren führt hier nur deshalb zur richtigen Lösung, weil die Geraden \(AS\) und \(BC\) zwar windschief sind, aber ihre Richtungen orthogonal zu einander stehen. Man kann statt \(M\) auch jeden anderen Punkt auf \(BC\) wählen - z.B. \(B\).

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\(P\;(5|\frac{5}{13}|\frac{57}{13})\)

Y-Koordinate: \(1 + 2 \cdot \frac 6{13} = \frac{25}{13}\)

Answer 3

Hallo Laura,

ich habe Dir die Szene im Geoknecht3d eingegeben (klick auf das Bild)

Es ist ein Punkt \(P\) auf der Geraden durch \(A\) und \(S\) gesucht, für den die Fläche des Dreiecks \(\triangle BCP\) (rot) minimal wird. Die Fläche \(F\) dieses Dreiecks ist$$F = \frac 12 \left| \vec{BC} \times \vec{BP}\right| \to \min$$Da \(P\) auf \(AS\) liegt, gilt$$P = A + \vec{AS} t, \quad t \in \mathbb R$$Einsetzen gibt$$F = \frac 12 \left| \vec{BC} \times \left(\vec{BA} + \vec{AS}t\right)\right|$$Zur Bestimmung des Minimums kann man \(F\) auch quadrieren, wodurch dann die Wurzel enfällt. $$4 F^2 = (\vec{BC} \times \vec{BA})^2 + 2(\vec{BC} \times \vec{BA})(\vec{BC} \times \vec{AS})t + (\vec{BC} \times \vec{AS})^2t^2$$Leitet man anschließend nach \(t\) ab und setzt diese zu 0, so erhält man$$(\vec{BC} \times \vec{BA})(\vec{BC} \times \vec{AS}) + (\vec{BC} \times \vec{AS})^2t = 0 \\ \implies t = \frac{(\vec{BA} \times \vec{BC})(\vec{BC} \times \vec{AS})}{(\vec{BC} \times \vec{AS})^2} = \frac{6}{13} \\ \implies P = \frac 1{13} \left( 7A + 6S\right) = \frac 1{13}\begin{pmatrix}65\\ 25\\ 57\end{pmatrix}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

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Hallo, danke erstmal für die Mühe. Ab dem Punkt als Du F quadriert hast, hab ich das leider nicht verstanden. Wie wäre es, wenn man nicht quadriert und die Wurzel stattdessen zieht?

LG Laura

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Wie wäre es, wenn man nicht quadriert und die Wurzel stattdessen zieht?

es ändert sich im Grunde nichts, nur es wird aufwendiger, es hin zu schreiben.

Der Betrag eines Vektors \(\vec v\) lässt sich berechnen aus$$|\vec v| = \sqrt{\vec v^2}$$Wobei das \(\vec v^2\) das Skalarprodukt, bzw. die Quadratesumme der Koordinaten des Vektors ist. Also ist hier$$\begin{aligned} F &= \frac 12 \left| \vec{BC} \times \left(\vec{BA} + \vec{AS}t\right)\right| \\ &=\frac 12\left|\vec{BC} \times \vec{BA} +\vec{BC} \times \vec{AS}t \right| \\ &= \frac 12 \sqrt{\left(\vec{BC} \times \vec{BA} +\vec{BC} \times \vec{AS}t \right)^2} \\ &= \frac 12\sqrt{\left( \vec{BC} \times \vec{BA}\right)^2 + 2\left( \vec{BC} \times \vec{BA}\right)\left( \vec{BC} \times \vec{AS}t\right) + \left( \vec{BC} \times \vec{AS}t\right)^2}\end{aligned}$$Leite nun nach \(t\) ab, dann ergibt sich$$\frac{\partial F}{\partial t} = \frac 12 \cdot \frac{2(\vec{BC} \times \vec{BA})(\vec{BC} \times \vec{AS}) + 2(\vec{BC} \times \vec{AS})^2t}{\sqrt{\dots \text{(s.o.)}}}$$die Ableitung muss im Optimum 0 werden. Und in diesem Fall muss dazu natürlich nur der Zähler des Bruches 0 werden. Und dies ist der Ausdruck, den ich oben in meiner Antwort geschrieben habe.

Grundsätzlich gilt: wenn eine Funktion \(F(t)\) an einer Stelle \(t_{\text{opt}}\) ein Optimum einnimmt, so nimmt auch \(F(t)^2\) an der gleichen Stelle \(t_{\text{opt}}\) ein Optimum ein.

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Ich verstehe das leider immer noch nicht ohne die Zahlen :(

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Ich verstehe das leider immer noch nicht ohne die Zahlen :(

Hmm!? ... dieser Effekt ist mir bekannt. Ich versuch's mal mit Zahlen. Die Fläche \(F\) des Dreiecks, die minimiert werden soll $$F = \frac 12 \left| \vec{BC} \times \vec{BP}\right| \to \min$$das sollte bekannt sein, ansonsten frage hier konkret noch mal nach. Schau Dir oben in dem Bild an, was \(\vec{BC}\) und \(\vec{BP}\) ist. Nun ist $$\vec{BC} = \begin{pmatrix}7\\ 4\\ 3\end{pmatrix}  -\begin{pmatrix}3\\ 4\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$und da der Punkt \(P\) auf der Geraden durch \(AS\) liegt, schreibt man für \(P\)$$P = \begin{pmatrix}5\\ 1\\ 3\end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix}5\\ 3\\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\ 1\\ 3\end{pmatrix}\right)t =  \begin{pmatrix}5\\ 1\\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix}t$$mit irgendeinem \(t\), was zu diesem Zeitpunkt noch unbekannt ist. Und dann ist der zweite Vektor \(\vec{BP}\) des gesuchten Dreiecks$$\vec{BP} = P - \begin{pmatrix}3\\ 4\\ 3\end{pmatrix} \\\phantom{\vec{BP}} =  \begin{pmatrix}5\\ 1\\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix}t - \begin{pmatrix}3\\ 4\\ 3\end{pmatrix} \\\phantom{\vec{BP}}= \begin{pmatrix}2\\ -3\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix}t$$Die beiden Vektoren \(\vec{BC}\) und \(\vec{BP}\) setze ich nun oben in die Gleichung für die Fläche \(F\) ein$$\begin{aligned} F&=\frac12\left|\begin{pmatrix}4\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \times \left( \begin{pmatrix}2\\ -3\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix}t \right)\right| \\ &= \frac12\left| \begin{pmatrix}4\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\ -3\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix} t \right| \\ &= \frac12\left|\begin{pmatrix}0 \cdot 0 - 0  \cdot(-3)\\ 0\cdot 2-4\cdot 0\\ 4\cdot (-3) - 0 \cdot 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\cdot 3 - 0\cdot 2\\ 0\cdot 0 - 4\cdot 3\\ 4\cdot 2-0\cdot 0\end{pmatrix}t\right| \\ &= \frac12\left| \begin{pmatrix}0\\ 0\\ -12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ -12\\ 8\end{pmatrix} t\right| \\&= \frac12 \sqrt{\left( \begin{pmatrix}0\\ 0\\ -12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ -12\\ 8\end{pmatrix}t\right)^2} \\ &= \frac 12\sqrt{\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -12\end{pmatrix}^2 + 2\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ -12\\ 8\end{pmatrix}t + \begin{pmatrix}0\\ -12\\ 8\end{pmatrix}^2t^2} \\ &= \frac12\sqrt{(0^2+0^2+(-12)^2) +2(0\cdot0 + 0\cdot(-12) + (-12)\cdot 8)t + (0^2+(-12)^2 + 8^2)t^2} \\ &= \frac12\sqrt{144-192t + 208t^2}\end{aligned}$$und dies gilt es nun nach \(t\) abzuleiten, um das Optimum für \(F\) zu finden$$F' = \frac12\frac{-192+ 2\cdot 208 t}{2\sqrt{144-192t + 208t^2}} = \frac12\frac{-192+ 416 t}{2\sqrt{144-192t + 208t^2}} \to 0$$dieser Ausdruck kann nur genau dann \(=0\) sein, wenn der Zähler des Bruches \(=0\) ist - also$$ \begin{aligned}\implies -192+ 416 t &=  0 &&|\,+192\\416 t &= 192 &&|\,\div 416 \\ t&= \frac{192}{416} = \frac{6}{13} \end{aligned}$$Und mit diesem (nun bekannten) Wert für \(t\) geht man zur Geradengleichung für \(P\) und erhält den gesuchten Punkt \(P_0\)$$P_0 = P\left(t=\frac{6}{13}\right) =  \begin{pmatrix}5\\ 1\\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\cdot \frac{6}{13} \\\phantom{P_0} = \frac1{13}\begin{pmatrix}65\\ 25\\ 57\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}5\\ 1,92\\ 4,38\end{pmatrix}$$Melde Dich bitte ruhig noch mal, wenn Du Fragen hast. Versuche aber bitte möglichst konkret nach zu fragen!