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Sei \( F: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, x \mapsto A x \) mit
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} 9 & 3 & -12 & 12 \\ 11 & 1 & -20 & 22 \\ 7 & 2 & -10 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$
(a) Zeigen Sie, dass \( F \) nilpotent ist.
(b) Zeigen Sie, dass \( \mathbb{R}^{4} \) zyklisch bzgl. \( F \) ist und geben Sie ein erzeugendes Element an, d.h. ein \( x \in \mathbb{R}^{4} \) mit \( \mathbb{R}^{4}=K[F] x \).
Heyho, ich habe die a) gezeigt und bin nun bei der b), ich bin die Sätze zu zyklisch die wir hatten durchgegangen, verstehe aber nicht ganz was ich zeigen soll.
Ich muss ja das x zeigen welches R^4=span(x, F(x),F^2(x), F^3(x)) erfüllt.
Die Vektoren der Matrix sind ja offensichtlich nicht alle lin unabh. ist also dann das x in dem span der lin abh. Vektor, oder hat das damit überhaupt nichts zu tun? Ich verstehe nicht ganz wie ich das zeigen kann, wäre lieb wenn mir da jemand helfen könnte. :))
