Integralaufgaben über Rohstoffverbrauch: v(t) = 2 + e^{-0,1·t}·0,1t^2

Question

Integral-Aufgaben:

In der Grafik ist der Rohstoffverbrauch (Änderungsraten) eines Chemiewerkes dargestellt.

a) Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve im Intervall [0 ; 50] mit Hilfe einer Rechtecksumme mit 5 Teilintervallen.
Interpretieren Sie das Ergebnis im Zusammenhang zur Produktion.

b) Beweisen Sie: Die Funktion V mit V(t) = 2t – e^-0,1t * (t² + 20t + 200) ist eine Stammfunktion von v!

c) Berechnen Sie die Integralwerte von \( \int \limits_{0}^{50} v(t) d t \) und  \( \frac{1}{50} * \int \limits_{0}^{50} v(t) d t \)
Erklären Sie die ökonomische Bedeutung dieser Integralwerte!

d) Regel für partielle Integration:
\( \int u^{\prime}(x) * v(x)=u(x) * v(x)-\int u(x) * v^{\prime}(x) \)

d.1) Geben Sie eine Herleitung dieser Rechenregel an.

d.2) Die Stammfunktion von v (vgl. b)) ist durch mehrfache partielle Integration bestimmt worden! Zeigen Sie ausführlich, wie man das gemacht hat!

e) Übung zur Kurvendiskussion:

Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte der Rohstoffverbrauchskurve.

Answer 1

Integralrechnung: Rohstoffverbrauch

In der Grafik ist der Rohstoffverbrauch (Änderungsraten) eines Chemiewerkes dargestellt.

v(t) = 2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2

a) Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve im Intervall [0 ; 50] mit Hilfe einer Rechtecksumme mit 5 Teilintervallen. Interpretieren Sie das Ergebnis im Zusammenhang zur Produktion.

∑(t = 0 bis 4) (10 · (2 + e^{- 0.1·(10·t)}·0.1·(10·t)^2)) = 265.0354411

b) Beweisen Sie: Die Funktion V mit V(t) = 2·t - e^{- 0.1·t}·(t^2 + 20·t + 200) ist eine Stammfunktion von v!

V(t) = 2·t - e^{- 0.1·t}·(t^2 + 20·t + 200)
v(t) = 2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2

c) Berechnen Sie die Integralwerte von ∫(0 bis 50) v(t) dt und 1/50 · ∫(0 bis 50) v(t) dt Erklären Sie die ökonomische Bedeutung dieser Integralwerte!

∫ (0 bis 50) v(t) dt = V(50) - V(0) = 75.06959610 - (- 200) = 275.06959610 ME

Es werden in den 50 Monaten ca. 275 ME des Rohstoffes verbraucht.

 

1/50 · ∫ (0 bis 50) v(t) dt = 275.06959610/50 = 5.501391921

Der Durchschnittliche Monatsverbrauch beträgt ca. 5.5 ME des Rohstoffes.

d) Regel für partielle Integration: ∫ u'(x)·v(x) = u(x)·v(x) - ∫ u(x)·v'(x)

d.1.) Geben Sie eine Herleitung dieser Rechenregel an.

(u(x)·v(x))' = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)   | Produktregel auf beiden Seiten Integrieren

u(x)·v(x) = ∫ u'(x)·v(x) + ∫ u(x)·v'(x)   | Jetzt noch umformen

∫ u'(x)·v(x) = u(x)·v(x) - ∫ u(x)·v'(x)

d.2.) Die Stammfunktion von v (vgl. b)) ist durch mehrfache partielle Integration bestimmt worden! Zeigen Sie ausführlich, wie man das gemacht hat!

∫ 2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2 dt

∫ 2 dt + ∫ e^{- 0.1·t}·0.1·t^2 dt

2·t + (-10·e^{- 0.1·t}·0.1·t^2) - ∫ -10·e^{- 0.1·t}·0.2·t dt

2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 + ∫ e^{- t/10}·2·t dt

2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 + (-10·e^{- 0.1·t}·0.2·t) - ∫ -10·e^{- 0.1·t}·2 dt

2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 - e^{- 0.1·t}·2·t + ∫ 20·e^{- 0.1·t} dt

2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 - e^{- 0.1·t}·2·t - e^{- t/10}·200

2·t - e^{- 0.1·t}·(t^2 + 20·t + 200)

e) Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte der Rohstoffverbrauchskurve.

v(t) = 2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2
v'(t) = e^{- 0.1·t}·(0.2·t - 0.01·t^2)
v''(t) = e^{- 0.1·t}·(0.001·t^2 - 0.04·t + 0.2)

Extrempunkte v'(t) = 0

0.2·t - 0.01·t^2 = 0
t = 0 oder t = 20

v(0) = 2 [Tiefpunkt]
v(20) = 7.413411329 [Hochpunkt]

Wendepunkte v''(t) = 0

0.001·t^2 - 0.04·t + 0.2 = 0
t = 5.857864376 oder t = 34.14213562

v(5.857864376) = 3.910182260

v(34.14213562) = 5.835369905

Comments

Danke für die Hilfe.

Wegen der Aufgbe A sind wir immer noch nicht klar geworden wieso Sie den Zahl 10 eingegeben haben und was heißt ∑?

Wegen der Aufgabe C wissen wir auch nicht wie v auf V aufleitet. Vielleicht können Sie uns zeigen wie das geht?

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Zeichne in die Skizze mal für das Integral 5 Rechtecke ein. Beginne jedes Rechteck mit der Linken oberen Ecke an der Funktion.

Dann sind die Rechtecke 10 Einheiten breit daher die 10.

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bei c) braucht man nicht aufleiten. Man benutzt den Hauptsatz der Integralrechnung.