Integralrechnung: Rohstoffverbrauch
In der Grafik ist der Rohstoffverbrauch (Änderungsraten) eines Chemiewerkes dargestellt.
v(t) = 2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2
a) Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve im Intervall [0 ; 50] mit Hilfe einer Rechtecksumme mit 5 Teilintervallen. Interpretieren Sie das Ergebnis im Zusammenhang zur Produktion.
∑(t = 0 bis 4) (10 · (2 + e^{- 0.1·(10·t)}·0.1·(10·t)^2)) = 265.0354411
b) Beweisen Sie: Die Funktion V mit V(t) = 2·t - e^{- 0.1·t}·(t^2 + 20·t + 200) ist eine Stammfunktion von v!
V(t) = 2·t - e^{- 0.1·t}·(t^2 + 20·t + 200)
v(t) = 2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2
c) Berechnen Sie die Integralwerte von ∫(0 bis 50) v(t) dt und 1/50 · ∫(0 bis 50) v(t) dt Erklären Sie die ökonomische Bedeutung dieser Integralwerte!
∫ (0 bis 50) v(t) dt = V(50) - V(0) = 75.06959610 - (- 200) = 275.06959610 ME
Es werden in den 50 Monaten ca. 275 ME des Rohstoffes verbraucht.
1/50 · ∫ (0 bis 50) v(t) dt = 275.06959610/50 = 5.501391921
Der Durchschnittliche Monatsverbrauch beträgt ca. 5.5 ME des Rohstoffes.
d) Regel für partielle Integration: ∫ u'(x)·v(x) = u(x)·v(x) - ∫ u(x)·v'(x)
d.1.) Geben Sie eine Herleitung dieser Rechenregel an.
(u(x)·v(x))' = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x) | Produktregel auf beiden Seiten Integrieren
u(x)·v(x) = ∫ u'(x)·v(x) + ∫ u(x)·v'(x) | Jetzt noch umformen
∫ u'(x)·v(x) = u(x)·v(x) - ∫ u(x)·v'(x)
d.2.) Die Stammfunktion von v (vgl. b)) ist durch mehrfache partielle Integration bestimmt worden! Zeigen Sie ausführlich, wie man das gemacht hat!
∫ 2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2 dt
∫ 2 dt + ∫ e^{- 0.1·t}·0.1·t^2 dt
2·t + (-10·e^{- 0.1·t}·0.1·t^2) - ∫ -10·e^{- 0.1·t}·0.2·t dt
2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 + ∫ e^{- t/10}·2·t dt
2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 + (-10·e^{- 0.1·t}·0.2·t) - ∫ -10·e^{- 0.1·t}·2 dt
2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 - e^{- 0.1·t}·2·t + ∫ 20·e^{- 0.1·t} dt
2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 - e^{- 0.1·t}·2·t - e^{- t/10}·200
2·t - e^{- 0.1·t}·(t^2 + 20·t + 200)
e) Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte der Rohstoffverbrauchskurve.
v(t) = 2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2
v'(t) = e^{- 0.1·t}·(0.2·t - 0.01·t^2)
v''(t) = e^{- 0.1·t}·(0.001·t^2 - 0.04·t + 0.2)
Extrempunkte v'(t) = 0
0.2·t - 0.01·t^2 = 0
t = 0 oder t = 20
v(0) = 2 [Tiefpunkt]
v(20) = 7.413411329 [Hochpunkt]
Wendepunkte v''(t) = 0
0.001·t^2 - 0.04·t + 0.2 = 0
t = 5.857864376 oder t = 34.14213562
v(5.857864376) = 3.910182260
v(34.14213562) = 5.835369905
