Muss x − 1 bzw x + 1 ich hier Häufungspunkte nachweisen?

Question

Aufgabe:

Folgende Aufgabe:

Sei f: $$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definiert durch

f(x) = 1/q, falls x=p/q mit p ∈ℤ, q ∈ℕ und p/q ausgekürzt oder

f(x) = 0 sonst.

Es soll unter anderem bewiesen werden, dass die Funktion für alle irrationalen Zahlen ℝ\ℚ stetig ist. Als Hinweis steht dabei:

Beweisen Sie, dass es zu vorgegebenem ε > 0 in (x − 1, x + 1) nur endlich viele p/q geben kann, sodass 1/q ≥ ε ist. Und genau daran scheitere ich...

Problem/Ansatz:

1. Wenn ich das richtig verstehe, dann ist die Angabe "(x − 1, x + 1)" ein offenes Intervall. Muss x − 1 bzw. x + 1 ich hier Häufungspunkte nachweisen? Aber wie?

2. Oder genügt es, p/q zwischen die beiden Intervallpunkten zu setzen: x − 1 < p/q < x + 1 und anschließend x zu subtrahieren, so dass dann folgender Ausdruck steht: -1 < p/q − x < 1? Wie müsste ich hier weiter verfahren? Meine Idee: Gäbe es unendlich viele p/q, so würde der Ausdruck |p/q - x| ja auch gegen Unendlich gehen; ein Widerspruch zu p/q − x < 1. (Vermutlich ist dieser Ansatz völliger Quark..)

Wie gehe ich bei diesem Beweis vor?

Vielen Dank schonmal für jede Hilfe!

Grüße

Lorytha

Answer 1

Angenommen \(x = \sqrt{2}\).

Das Intervall \(I\coloneqq (x-1,x+1)\) ist dann das Intervall \((\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1)\).

Unter anderem liegen folgende rationale Zahlen in dem Intervall:

        \(\frac{1}{1}, \frac{2}{1},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{7}{3},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{9}{4}\).

Das sind alle rationalen Zahlen des Intervalls \(I\), bei denen der Nenner in der vollständig gekürzten Darstellung höchstens 4 ist.

Die größte dieser Zahlen, die kleiner als \(x\) ist, ist \(\frac{4}{3}\).

Die kleinste dieser Zahlen, die größer als \(x\) ist, ist \(\frac{3}{2}\).

Deshalb hat jede rationale Zahl aus dem Intervall \(\left(\frac{4}{3},\frac{3}{2}\right)\) einen Nenner, der größer als 4 ist.

Angenommen \(\varepsilon = \frac{1}{4}\). Laut obiger Überlegung gilt für jede rationale Zahl \(\frac{p}{q} \in \left(\frac{4}{3},\frac{3}{2}\right)\):

        \(f\left(\frac{p}{q}\right) = \frac{1}{q} < \varepsilon\).

Deine Aufgabe ist es, diese Überlegung auf alle \(\varepsilon > 0\) und alle \(x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) zu verallgemeinern.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe.

Werde mich mal daran versuchen. Wenn ich nicht weiterkomme, melde ich mich nochmal.

Grüße

Lorytha

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Dazu hätte ich noch zwei Fragen:

1) in der Aufzählung der Brüche fehlt (oder nicht nicht?)  1/3, ist das Absicht ?

2) wieso darf der Nenner höchstens 4  sein? Wegen Epsilon = 1/4 ?

Danke

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\(\frac{1}{3}\) habe ich nicht aufgelistet weil \(\frac{1}{3}\approx 0,33\) nicht in dem Intervall \(\left(\sqrt{2}-1;\sqrt{2}+1\right)\approx (0,41;2,41)\) liegt.

Ich habe nur die Brüche mit Nenner höchstens 4  aufgelistet, weil ich \(\varepsilon = \frac{1}{4}\) als Beispiel gewählt habe.

Hätte ich \(\varepsilon = \frac{1}{5}\) als Beispiel gewählt, dann wäre mir die Liste der Brüche zu lang gewesen.

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Hallo oswald,

habe vorgestern die Musterlösung für die Aufgabe erhalten und diese erscheint mir komplizierter als deine Lösungsvorschläge.

Wenn es möglich/erlaubt ist, kann ich dir diesen Teil der Musterlösung zukommen lassen. Vielleicht kannst du dir einen Reim darauf machen. Ich bin damit völlig überfordert.

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Lorytha

P.S.: Entschuldige die verspätete Antwort. Die Emails sind im Spam-Ordner gelandet.