Wahrscheinlichkeitsrechnung - Sätze - Tennis

Question

Hey wie würdet ihr an diese Aufgabe herangehen?

Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Alex und Louis spielen Tennis. Alex gewinnt einen Satz mit der Wahrscheinlichkeit p.

Die beiden spielen nun so viele Sätze hintereinander, bis eine von ihnen erstmals zwei Sätze direkt hintereinander
gewinnt. Wie viele Sätze kommen dabei im Mittel zustande?

Answer 1

Wahrscheinlichkeit, dass Alex in \(2n\) Sätzen gewinnt, ist

        \(a_0(n) \coloneqq \left(p(1-p)\right)^{n-1}\cdot p^2\).

Wahrscheinlichkeit, dass Louis in \(2n\) Sätzen gewinnt, ist

      \(l_0(n) \coloneqq \left((1-p)p\right)^{n-1}\cdot (1-p)^2\).

Wahrscheinlichkeit, dass Alex in \(2n+1\) Sätzen gewinnt, ist

      \(a_1(n)\coloneqq \left((1-p)p\right)^{n}\cdot p\).

Wahrscheinlichkeit, dass Louis in \(2n+1\) Sätzen gewinnt, ist

      \(l_1(n)\coloneqq \left(p(1-p)\right)^{n}\cdot (1-p)\).

Erwartungswert für die Anzahl der Sätze ist

        \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(2n(a_0(n)+l_0(n)) + (2n+1)(a_1(n)+l_1(n))\right)\)