Bestimmen sie f \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie f \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)

f ∈ End(ℝ³). Mit den Bildern:

\( f\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \quad f\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \quad f\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich bin bei:

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = (x-y) \( \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix} \)  + (y-z) \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \) + z \( \begin{pmatrix} -2\\-1\\0 \end{pmatrix} \) .

Mir fehlt jetzt nur noch die letzte Koordinate. \( \begin{pmatrix} 2y\\y\\? \end{pmatrix} \).

Comments

Wie hast du denn den Bildvektor berechnet? Ich komme auf
\(f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-4z\\x-2z\\y-z\end{pmatrix}\).

Answer 1

Aloha :)

Fasse die 3 einzelnen Funktionswerte zu eine Matrixgleichung zusammen:$$\mathbf F\cdot\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 & -2\\1 & 1 & -1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$und stelle die Gleichung nach \(\mathbf F\) um:$$\mathbf F=\begin{pmatrix}2 & 2 & -2\\1 & 1 & -1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 0 & -4\\1 & 0 & -2\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}$$und multipliziere den Vektor \((x,y,z)^T\) an die Matrix:

$$f(x;y;z)=\begin{pmatrix}2 & 0 & -4\\1 & 0 & -2\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-4z\\x-2z\\y-z\end{pmatrix}$$

Comments

ƒ(1,1,1) = (-2,-1,0).

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Danke dir, hab's korrigiert ;)

Answer 2

Hallo

was du gemacht hast sehe ich nicht direkt, aber wenn du dir die Bilder von (1,0,0) (0,1,0) und (0,0,1)ansiehst hast du das Bild direkt.

und die Bilder sind ja leicht aus den gegebenen zu finden .

lul