Wichtig bei dieser Aufgabe ist, sich den Gegebenen Vektorraum richtig vorzustellen. In der Funktionalanalysis wird dieser oft als Raum der abbrechenden Folgen bezeichnet, was das ganze ja schonmal verbildlichen sollte.
i) Hier muss man die Unterraumeigenschaften machweisen (Nullelement liegt drinnen, Additiv abgeschlossen und abgeschlossen bzgl Skalarmultiplikation)
ii) Hier sollte man mit dem Begriff Quotientenraum vertraut sein. V/U bedeutet man betrachtet den Vektorraum V in Äquivalenzklassen, also ein Vektor v1 wird mit einem Vektor v2 identifiziert, falls v1-v2 in U liegt. Anders ausgesprochen, v1 wird mit v2 identifiziert, falls v1-v2 nur endlich viele nicht 0 Einträge besitzt. Das ganze funktioniert so ähnlich wie in de LP Räumen.
Den Endomorphismus den man hier sucht macht folgendes: Er bildet einen Vektor v auf einen Vektor T(v) = (v1,v3,v5,…) ab. Die Abbildung ist offensichtlich Linear und auch stetig und Surjektiv da man durch geeignet gewählte Vektoren x = (v1,0,v2,0,v3…) auf jeden beliebigen Vektor T(x) = (v1, v2, v3, …) abbildet. T ist aber nicht injektiv, da zwei verschiedene Elemente die sich nur in allen geraden Einträgen unterscheiden (und somit unterschiedliche Einträge im Quotientenraum bilden) auf das gleiche Element abbilden.
iii) Hier gibt es viele interessante Ansätze aus der Funktionalanalysis, ich denke der leichteste (ohne eine Norm zu definieren) wäre wie folgt zu argumentieren:
Falls V/U endlichdimensional wäre, so würde für jeden Endomorphismus gelten: Surjektiv ⇔ Injektiv. In ii) wurde aber angegeben, dass es einen Endomorphismus gibt der surjektiv aber nicht injektiv ist. Somit kann die annahme dass V/U endlichdimensional ist nicht stimmen.
PS: Überleg dir mal wie ein Endomorphismus der Injektiv aber nicht surjektiv ist aussehen könnte :)
Lg
