Drehmatrix an einer Ursprungsgeraden

Question

Aufgabe:

Kann die Drehmatrix auch dazu genutzt werden einen Punkt an einer Ursprungsgeraden zu spiegeln?

Answer 1

Mit der Matrix

        \(\begin{pmatrix} n_1^2\left(1-\cos\alpha\right) +\cos\alpha & n_1 n_2\left(1-\cos\alpha\right) - n_3\sin\alpha & n_1 n_3\left(1-\cos\alpha\right) + n_2\sin\alpha\\ n_2 n_1\left(1-\cos\alpha\right) + n_3\sin\alpha & n_2^2\left(1-\cos\alpha\right) +\cos\alpha & n_2 n_3\left(1-\cos\alpha\right) - n_1\sin\alpha\\ n_3 n_1\left(1-\cos\alpha\right) - n_2\sin\alpha & n_3 n_2\left(1-\cos\alpha\right) + n_1\sin\alpha & n_3^2\left(1-\cos\alpha\right) +\cos\alpha \end{pmatrix}\)

kann man laut Wikipedia um die Gerade

        \(\vec{x} = t\cdot \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\)

drehen. Dabei muss

        \(\left|\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\right| = 1\)

sein.

Answer 2

bei einer spiegelung ändert sich der drehsinn des urbildes bei einer drehung bleibt er erhalten.

die determinante einer drehmatrix ist +1, die einer spiegelung ist, siehe oben, -1...

eine drehung ist darstellbar durch 2 spiegelungen.

Answer 3

Hallo,

Kann die Drehmatrix auch dazu genutzt werden einen Punkt an einer Ursprungsgeraden zu spiegeln?

um auf die Frage zu antworten: Ja kann man!

Eine Spiegelung in \(\mathbb R^3\) an einer Ursprungsgeraden, ist identisch zu einer Drehung um dieselbe um \(180°\). Die 'Spiegelung' an einer Ursprungsgeraden ist in dem Sinne gar keine Spiegelung mit einer Änderung des Drehsinns, sondern bezogen auf die Ebene senkrecht zur Geraden, in der sich der Punkt und sein Bild befinden, eine Punktspiegelung, bei der der Drehsinn erhalten bleibt.