Bestimmen sie die Wendepunkte

Question

Aufgabe: a) Zeigen sie rechnerisch, dass die Funktion f(x)= x- sin(x) keine extremwerte hat.

b) Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen im Intervall [-2pi ; 2pi]

c) Bestimmen Sie welche der Wendepunkte zugleich auch Sattelpunkte sind.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Zu a) bestimme die erste Ableitung (die ist -cos(x)+1) setze die gleich 0, also -cos(x)+1=0, das gilt für x=0, x=2pi und x=-2pi. Bestimme dann die zweite Ableitung (die ist sin(x)), setze da x=0, x=2pi und x=2pi und man sieht, alles wird 0 und daraus folgt , dass die Ableitung keine Nullstellen hat, deren Steigung ungleich 0 ist, und das bedeutet das die funktion keine Extremstellen hat.

Zu b) Finde die Nullstellen der 2.ableitung, also von sin(x). Diese sind x1=-2pi, x2=-pi, x3=0 x4=pi und x5=2pi. Bestimme die 3. Ableitung (die ist cos(x)) und setzte alle 5 Nullstellen der 2.Ableitung in die 3. ein und überprüfe, ob da bei den jeweiligen Werten Werte ungleich 0 rauskommt, also ob die Steigung der Nullstellen von der 2.Ableitung größer oder kleiner als 0 sind.

Zu c) habe keinen Sattelpunkt gefunden.   

Answer 2

f(x)= x- sin(x)

c) Bestimmen Sie welche der Wendepunkte zugleich auch Sattelpunkte sind. Intervall [-2pi ; 2pi]

f´(x)=1-cos(x)

f´´(x)=sin(x)

sin(x)=0     

Wendepunkte:

x₁=-2π        f´(-2π)=1-cos(-2π) =0    Sattelpunkt

x₂=-π         f´(-π)=1-cos(-π) =2   kein Sattelpunkt

x₃=0           f´(0)=1-cos(0) =0  Sattelpunkt

x₄=π           f´(π)=1-cos(π) =2 kein Sattelpunkt

x₅=2π         f´(2π)=1-cos(2π) =0  Sattelpunkt