Verlauf einer Krankheit (Stochastik, Übergangsmatrix)

Question

Aufgabe:

In einer Studie mit einer Bevolkerungsgruppe von 2400 Personen soll der Verlauf einer Krankheit mithilfe eines mathematischen Modells untersucht werden。Die Gruppe wird in Nicht Erkrankte（N）、Kranke（K）und Genesene（G）eingeteilt. Betrachtet wird der wöchentliche übergang zwischen den Gruppen. Dieser wird durch den folgenden Ubergangsgraphendargestellt.

K->K =0.4 K->G=0.6

G->G=0.8 G->=0.2

N->N=0.75 N->K=0.25

a) stellen sie eine Übergangsmatrix M auf

b) berechnen sie die Situation 2 Wochen nach Ausbruch der Krankheit

c) berechnen sie die vierte Potenz der Matrix M und interpretieren sie die Einträge der Matrix im Sachzusammenhang

d) stellen sie eine Vermutung  über eine stabile Verteilung an und bestimmen sie den stabilen vektor

Zur eindämmung der Krankheit wird ein Impfstoff hergestellt der allerdings keinen 100%igen Schutz bietet.

e) treffen sie geeignete Annahmen und erweitern sie das modell durch die Bearbeitung selbstgewählter mathematischer Fragestellungen.

f) entwickeln und bearbeiten sie in dem Rahmen des Kontextes selbstständig eine Aufgabe aus dem Bereich der Stochastik.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Stochastik Matrix austauschprozess

Stichworte: stochastik,matrix

Aufgabe

In einer Studie mit einer Bevolkerungsgruppe von 2400 Personen soll der Verlauf einer Krankheit mithilfe eines mathematischen Modells untersucht werden。Die Gruppe wird in Nicht Erkrankte（N）、Kranke（K）und Genesene（G）eingeteilt. Betrachtet wird der wöchentliche übergang zwischen den Gruppen. Dieser wird durch den folgenden Ubergangsgraphendargestellt.

⎛0.750.25000.40.600.20.8⎠⎞

Zur eindämmung der Krankheit wird ein Impfstoff hergestellt der allerdings keinen 100%igen Schutz bietet.

e) treffen sie geeignete Annahmen und erweitern sie das modell durch die Bearbeitung selbstgewählter mathematischer Fragestellungen.

f) entwickeln und bearbeiten sie in dem Rahmen des Kontextes selbstständig eine Aufgabe aus dem Bereich der Stochastik.

Ich verstehe nicht wirklich was in e und f von mir verlangt wird.

Ich habe die Frage in einem anderen thread schon einige male in die Kommentare geschrieben. Da einen Tag lang keine Antworten kamen probiere ich es so nochmal.

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   N         K    g

N  0.75     0     0

K  0.25   0.4   0.2

G  0        0.6    0.8

Answer 1

Hallo

Was kannst du daran nicht? du hast  z,B den Vektor (N,0,0) was wird aus dem (1. Spalte) was wird aus (0,K,0) 2 te Spalte und aus (0,0,G) das Wenn ich mit dem Vektor (N;K,G) rechne, du kannst auch ne andere Reihenfolge finden.

kannst du den Rest, wenn du die Matrix hast, sonst frag genauer.

Gruß lul

Comments

Naja ich verstehe sehr vieles nicht.

Beginnen wir mit aufgabe a und b

Als Übergangsmatrix habe ich

0.4 0.25 0.2

0    0.75    0

0.6    0     0.8

raus. Allerdings weiß ich nicht ich wie für den Vektor an die Ausgangsverteilung komme.

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Hallo. Ich würde zunächst mit einer beschrifteten Tabelle beginnen, etwa so: $$\begin{matrix} \: & N & K & G \\ N & 0.75 & 0 & 0 \\ K & 0.25 & 0.4 & 0.2 \\ G & 0 & 0.6 & 0.8 \\ \end{matrix}$$ Dabei habe ich 0.2 gedeutet als "0.2 der Genesenen erkranken erneut", das war oben in der Frage noch unklar. Die Zeilen und Spalten habe ich in der mir sinnvoll erscheinenden Reihenfolge N, K, G angeordnet. Auch der Startvektor muss dann in dieser Reihenfolge gedeutet werden. (Deine Anordnung ist aber auch möglich.)  Mit meiner Anordnung ergibt sich dann die Übergangmatrix $$\begin{pmatrix} 0.75 & 0 & 0 \\ 0.25 & 0.4 & 0.2 \\ 0 & 0.6 & 0.8 \\ \end{pmatrix}$$ Nun habe ich ein Problem mit dem Startvektor: Wie verteilen sich denn die 2400 Personen in der Studie auf die drei Untergruppen?

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Hallo

ich würde als Ausgang alle als gesund nehmen. wegen "nach Ausbruch" natürlich kann man 1K das haben.

lul

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Geht das so einfach? Nirgendwo steht, dass es der Beginn der Beginn der Krankheit ist. Und die Reihenfolge von N,G,K ist doch eigentlich egal solange man es einheitlich behält.

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Hallo

Ausbruch der Krankheit, fängt immer mit 1 Kranken an, der Rest N

Aber es kommt auch nicht so sehr drauf an, ob du anfangs 1K oder 10 K  hast.

Gruß lul

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Naja (0|0|0) ginge ja schonmal nicht weil sich nichts verändern würde. Ich probiere es mal mit (0|1|0|)

Für a habe ich nun wie in der Antwort auf N K G umgestellt.

Bei b habe ich die Matrix quadriert und

9/16       0        0

23/80  7/25   6/25

3/20   18/25   19/25

Raus. Mal den startvektor (0|1|0) ergibt das (0|2/5|3/5)

Ist das soweit richtig?

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Für c habe ich um rechnungen zu sparen die quadrierte Matrix quadriert und folgendes erhalten.

81/256            0                    0

8903/32000   157/625    156/625

3243/8000      468/625    469/625

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Beachte das hier:

In einer Studie mit einer Bevolkerungsgruppe von 2400 Personen soll der Verlauf einer Krankheit mithilfe eines mathematischen Modells untersucht werden.

Da der Ausbruch in der ersten Woche geschieht, würde ich davon ausgehen, dass zum Zeitpunkt Null alle 2400 Personen noch nicht erkrankt sind.

(Außerdem ist es sinnvoll, den GTR mit Kommazahlen statt mit Brüchen zu füttern.)

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Ich darf in dieser Aufgabe nicht mit dem gtr arbeiten und muss alles schriftlich errechnen. Und da die kommazahlen ab potenz 4 recht lang werden dachte ich ich bleibe mal bei den brüchen.

Und 0|0|0 klingt zwar logisch aber so würde sich doch niemand infizieren. Also wenn ich dann den verlauf errechne würde alles 0 bleiben. Das kann doch nicht der Sinn dahinter sein.

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Okay, dannversuche es mal damit: $$\begin{pmatrix} 0.75 & 0 & 0 \\ 0.25 & 0.4 & 0.2 \\ 0 & 0.6 & 0.8 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2400\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

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Ein dummer Fehler von mir.

Damit ändert sich das Ergebnis in b zu

1350|690|360

Ist das so richtig?

In c habe ich die oben genannte matrix mit dem startvektor multipliziert und folgendes raus.

759,375|667,725|972,9

Ich weiß allerdings nicht was ich da groß raus deuten soll. Inzwischen sind die Genesenen der größte Anteil und ca 2/3 bis zur vollen Immunisierung sind durch.

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Bei c) soll zunächst die vierte Potenz der Matrix M berechnet werden, das heißt

M^4 = M^2 * M^2 = ...

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Genauso habe ich das gemacht. Da ich M² schon für B errechnet habe spare ich mir ein wenig Rechnung dadurch

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Sehr gut. Aber c) fragt nach den Einträgen von M^4 im Sachzusammenhang, nicht nach dem Verteilungsvektor nach vier Wochen.

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Ich habe die Matrix jetzt fertig berechnet. Ich weiß nicht was ich daraus deuten soll. Die Verteilung verlagert sich mehr zu den erkrankten und genesenen viel mehr sehe ich da nicht.

Zudem fällt mir gerade auf das es Nichterkrankte gibt die genesen sind in der Matrix. Kann das so stimmen?

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Zudem fällt mir gerade auf das es Nichterkrankte gibt die genesen sind in der Matrix. Kann das so stimmen?

Das ist in der Tat fragwürdig.

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Habe ich einen Rechenfehler oder hat sich meine Lehrerin gedacht das fällt schon nicht auf?

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Bei Aufgabe d habe ich nun folgendes gleichungssystem aufgestellt

-0.25x1                             | 0

0.25x1   -0.6x2   -0.2x3  | 0

              0.6x2   -0.2x3  | 0

Um eine Parameterunabhöngige lösung zu bekommen nutze ich noch

X1+x2+x3= 2400. Ich habe es mit der dritten zeile verrechnet.

-0.25x1                             | 0

0.25x1   -0.6x2   -0.2x3  | 0

 1x1         1.6x2    0.8x3  | 2400

X1 muss demnach 0 sein.

Danach habe zeile 2 in 3 addiert um

x2 +x3 =2400 zu bekommen.

Das führt zu x3=2400-x2

Eingesetzt in zeile 2 erhalte ich

-0.6x2 +0.2(2400-x2) = 0

-0.6x2 + 480 -0.2x2    = 0

-0.8x2                            = -480

X2                                  = 600

Daraus folgt fixvektor

(0 | 600 | 1800)

Ist das so richtig?

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Und zu e und f habe ich überhaupt keine Idee was ich da machen soll.

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Damit ändert sich das Ergebnis in b zu

1350|690|360

Das habe ich auch.

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Zudem fällt mir gerade auf das es Nichterkrankte gibt die genesen sind in der Matrix. Kann das so stimmen?

Das ist in der Tat fragwürdig.

Das ist doch nicht fragwürdig, denn die Matrixpotenzen umfassen mehrere Wochen. In so großen Zeiträumen kann ein Nichterkrankter erkranken und genesen.

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Daraus folgt fixvektor
(0 | 600 | 1800)
Ist das so richtig?

Schön, das habe ich auch.

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Hat jemand ideen was man bei e und f machen soll?

Answer 2

e) treffen sie geeignete Annahmen und erweitern sie das modell durch die Bearbeitung selbstgewählter mathematischer Fragestellungen.

f) entwickeln und bearbeiten sie in dem Rahmen des Kontextes selbstständig eine Aufgabe aus dem Bereich der Stochastik.

Das sind typische Aufgabenstellungen in einer Aufgabenstellung für das mündliche Abitur.

Das Schöne ist doch hier, dass du dir sogar frei Aufgaben ausdenken kannst.

Lies dir also mal typischen Aufgaben aus dem Abitur durch und schau mal was für typische Fragestellungen dort immer wieder auftreten. Da entnimmst du einfach welche für deine Aufgabe.

Comments

Ich habe jetzt über eine Stunde nach mündlichen Abituraufgaben zum Thema gesucht. Es geht meistens nur um Kritik am Modell. Einen solchen Aufgabentyp um sie als Vorlage zu nutzen habe ich nicht gefunden. Nun habe ich immernoch keine Idee was ich bei e und f machen kann/soll. Können Sie mir eine ähnliche Aufgabe zeigen oder eine mögliche Lösung für diese erklären?