Untersuchen Sie, wie die beiden Ebenen zueinander liegen.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, wie die beiden Ebenen zueinander liegen.

E_1:4x1+2x3+x3 = 10

E₂:-x1-3x2+4x3+6= 0

Problem/Ansatz:

Ich würde diese beiden Ebenen in Koordinatenform lassen und herausfinden wie sie zueinander liegen. Ich weiß das sie sich schneiden und eine Schnittgerade haben wegen n-Vektoren.

Answer 1

Aloha :)

Wir wandeln \(E_2\) in die Parameterform:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3x_2+4x_3+6\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}-3\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}$$Damit haben wir gefunden:$$E_2\colon\vec x=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-3\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}$$

Die Koordinaten aus dieser Parameterform setzen wir in die Koordinatengleichung für \(E_1\) ein:$$10=4x_1+2x_2+x_3=4(6-3s+4t)+2s+t=24-10s+17t\implies$$$$10s=14+17t\implies s=1,4+1,7t$$Durch Einsetzen in \(E_2\) erhalten wir die Schnittgerade:

$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+(1,4+1,7t)\begin{pmatrix}-3\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-4,2\\0+1,4\\0+0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4-5,1\\0+1,7\\1+0\end{pmatrix}$$$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}1,8\\1,4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1,1\\1,7\\1\end{pmatrix}$$

Answer 2

Löse das Gleichungssystem

        \(\begin{aligned}4x_1+2x_3+x_3 &= 10\\x_1-3x_2+4x_3+6&= 0 \end{aligned}\)

Die Lösungsmenge ist die Menge der Punkte, die in beiden Ebenen liegen.

Das ist entweder eine Ebene (dann sind die Ebenen identisch) oder eine Gerade (dann ist das die Schnittgerade) oder die leere Menge (dann sind die Ebenen parallel und nicht identisch).

Answer 3

Hallo,

Ich würde diese beiden Ebenen in Koordinatenform lassen und herausfinden wie sie zueinander liegen.

Gute Idee!

Löse das Gleichungssystem

\(4x+2y+z=10\\-x-3y+4z=-6\)

beispielsweise dadurch, dass du E2 mit 4 multiplizierst und zu E1 addierst.

Ergebnis \(-10y+17z=-14\)

Setze dann z = t und löse diese Gleichung nach y auf. ⇒

y = 1,4 + 1,7t

Setze 1,4 + 1,7t und t für y und z in die 1. Gleichung ein und löse sie nach x auf.

Ergebnis \(x=1,8-1,1t\)

Du hast \(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,8-1,1t\\1,4+1,7t\\t \end{pmatrix}\)

und bildest daraus die Gleichung

\(g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 1,8\\1,4\\0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -1,1\\+1,7\\1 \end{pmatrix}\)

Gruß, Silvia

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Danke für die Hilfe