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Sei \( n \in \mathbb{N} \) und \( V \) ein \( n \) -dimensionaler \( \mathbb{R} \) -Vektorraum mit einer Basis \( S=\left\{s_{1}, \ldots\right. \), \( \left.s_{n}\right\} \). Wir nennen eine quadratische Matrix \( M \in \mathbb{R}^{n \times n} \) symmetrisch, wenn \( M=M^{\text {tr }} \) ist.
(a) Sei \( \langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) eine symmetrische Bilinearform auf \( V \). Zeigen Sie, dass die durch \( A=D_{S}(\langle\cdot, \cdot\rangle):=\left(\left\langle s_{i}, s_{j}\right\rangle\right)_{i, j} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) definierte Matrix symmetrisch
ist.
(b) Sei \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine symmetrische Matrix. Zeigen Sie, dass die durch
$$ \langle\cdot, \cdot\rangle_{A}: V \times V \rightarrow \mathbb{R},(v, w) \mapsto v_{S}^{\mathrm{tr}} \cdot A \cdot w_{S} $$
definierte Abbildung eine symmetrische Bilinearform auf \( V \) ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Zuordnungen
$$ \langle\cdot, \cdot\rangle \mapsto D_{S}(\langle\cdot, \cdot\rangle) \quad \text { und } \quad A \mapsto\langle\cdot, \cdot\rangle_{A} $$
bijektiv und zueinander invers sind.
