Hallo rennu,
schau dir die Funktion auf jeden Fall zuerst mit einem
Funktionsplotter an. Dann werden dir die Fragen sicherlich klarer.
L ( t ) = 24 – 21 * e^{-0,164t}
( L = Länge in cm, t = Zeit in Monaten )
4.1 Welche Durchschnittsgröße haben die Setzlinge beim Einsetzen in den Zuchtteich?
t = 0
L ( 0 ) = 24 - 21 * e^{-0.164*0}
L ( 0 ) = 24 - 21 * e^0
L ( 0 ) = 3 cm
4.2 Welche Durchschnittsgröße haben die Forellen nach einem Jahr?
t = 12
L ( 12 ) = 24 - 21 * e^{-0.16*12}
L ( 12 ) = 24 - 21 * e^{-1.92}
L ( 12 ) = 24 - 3.08 cm
L ( 12 ) = 20.92 cm
4.3 Berechnen Sie die durchschnittliche Größe einer ausgewachsenen Forelle! (Hinweis: Asymptote)
t = ∞
L ( ∞ ) = 24 cm
4.4 Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Fische 98 % ihrer maximalen Durchschnittsgröße erreicht haben!
L ( t ) = 0.98 * 24 cm
24 - 21 * e^{-0.164*t} = 23.52 cm
- 21 * e^{-0.164*t} = -0.48
e^{-0.164*t} = -0.48 / -21 = 0.023
-0.164 * t = ln ( 0.023 ) = -3.78
t = 23.0 Monate
4.5.1 Beantworten Sie unter Zuhilfenahme des Funktionsgraphen: Zu welchem Zeitpunkt ist die Längenzunahme am größten? Begründen Sie kurz Ihre Antwort!
Dies ist mathematisch die Stelle mit der größten Steigung. Aufgrund der Skizze
sieht man bei t = 0.
4.5.2 Berechnen Sie diese größte Längenzunahme!
dieser Wert = 0.
L ´( t ) = (–21) * e^{-0,164t} * (-0.164t)
L ´( t ) = 3.444 * e^{-0,164t}
L ´( 0 ) = 3.444 * e^{-0.164*0}
L ´( 0 ) = 3.444 cm / Monat
4.5.3 Welche Gleichung hat die Tangente an den Funktionsgraphen zu diesem Zeitpunkt ?
Steigung = 3.444
y-Achsenabschnitt = 3
T ( t ) = 3.444 * t + 3
4.5.4 Nach wie vielen Monaten wären die Fische ausgewachsen, wenn diese Längenzunahme während der ganzen Wachstumsphase konstant gewesen wäre?
24 cm = T ( t ) = 3.444 * t + 3
t = ( 24 - 3 ) / 3.444
t = 6.1 Monate
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mfg Georg
