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Es handelt sich um eine Potenzreihe:$$f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n^3}{n!}\cdot x^n=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cdot x^n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{n^3}{n!}$$Ihre Konvergenz hängt vom gewählten Wert für \(x\) ab. Wir können den Konvergenzradius \(r\) von \(f(x)\) bestimmen, um zu erfahren, für welche \(|x|<r\) die Potenzreihe konvergiert:
$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n^3}{n!}\cdot\frac{(n+1)!}{(n+1)^3}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^3}{(n+1)^3}\cdot\frac{(n+1)!}{n!}\right)$$$$\phantom{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(\frac{n}{n+1}\right)^3\cdot (n+1)\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^3\cdot (n+1)\right)=\infty$$
Der Konvergenzradius ist also unendlich, d.h. die Potenzreihe konvergiert für alle \(x\in\mathbb R\).
