Mit geeignetem Kriterium Reihe überprüfen

Question

Ich muss, diese Reihe mittels geeigneten Kriterium auf Konvergenz überprüfen.

∞
∑ \( \frac{n^3x^n}{n!} \)
n=1

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3} x^{n}}{n !} \)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Es handelt sich um eine Potenzreihe:$$f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n^3}{n!}\cdot x^n=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cdot x^n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{n^3}{n!}$$Ihre Konvergenz hängt vom gewählten Wert für \(x\) ab. Wir können den Konvergenzradius \(r\) von \(f(x)\) bestimmen, um zu erfahren, für welche \(|x|<r\) die Potenzreihe konvergiert:

$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n^3}{n!}\cdot\frac{(n+1)!}{(n+1)^3}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^3}{(n+1)^3}\cdot\frac{(n+1)!}{n!}\right)$$$$\phantom{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(\frac{n}{n+1}\right)^3\cdot (n+1)\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^3\cdot (n+1)\right)=\infty$$

Der Konvergenzradius ist also unendlich, d.h. die Potenzreihe konvergiert für alle \(x\in\mathbb R\).