Zeigen Sie, dass jede Polynomfunktion stetig auf ℝ ist.

Question

Hallo ich hoffe es kann mir jemand bei folgenden Aufgaben helfen. Ich weiß  nicht wie ich diese Lösen soll und bin schon am Verzweifeln :(. Vielen Dank im voraus..

1) Zeigen Sie, dass jede Polynomfunktion stetig auf ℝ ist.

2)  Gegeben seien zwei Polynomfunktionen p, q und eine offene Menge D ⊆ ℝ mit q(x) ≠ 0 für alle x ∈ D. Zeigen Sie, dass f: D ---> ℝ, x->\( \frac{p(x)}{q(x)} \) auf D stetig ist.

3) Sei p eine Polynomfunktion ungeraden Grades. bestimmen Sie lim x-->∞ p(x) und lim x--> -∞ p(x). Folgern Sie mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass jede Polynomfunktion ungeraden Grades eine Nullstelle besitzt.

Comments

Hallo erst einmal vielen Dank für deine schnelle Hilfe. Kannst du mir vielleicht für die  1 und 2  Aufgabe zeigen, wie ich die Antworten formal als Beweis zeigen kann ? VG

Answer 1

1) Jede Potenzfunktion ist stetig. Jedes Vielfache einer stetigen Funktion ist stetig. Jede Summe von stetigen Funktionen ist stetig. Jede Polynomfunktion ist die Summe von Vielfachen von Potenzfunktionen.

2) Jeder Quotient von stetigen Funktionen ist dort stetig, wo der Quotient definiert ist.

3) \(\lim\limits_{x\to \infty} p(x) \in \{-\infty, \infty\}\)

\(\lim\limits_{x\to -\infty} p(x) \in \{-\infty, \infty\} \setminus \{\lim\limits_{x\to \infty} p(x)\}\)

Laut Definition uneigentlicher Grenzwert gibt es \(x_1,x_2\in \mathbb{R}\) mit \(p(x_1) < 0\) \(p(x_2) > 0\). Wegen der Stetigkeit von \(p\) gibt es dann ein \(x_3\in\mathbb{R}\) mir \(p(x_3) = 0\).