Stammfunktion folgender Funktion: f(x) = (x+1) * e^(-2x)

Question

Aufgabe:

Stammfunktion/Aufleiten folgender Funktion:

f(x) = (x+1) * e^(-2x)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist die partielle Integration da ich hier 2 Faktoren mit x habe.

Answer 1

Aloha :)

$$\int\underbrace{(x+1)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-2x}}_{=v'}dx=\underbrace{(x+1)}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{e^{-2x}}{-2}}_{=v}-\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{e^{-2x}}{-2}}_{=v}dx=-\frac{x+1}{2}\,e^{-2x}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}dx$$$$=-\frac{x+1}{2}\,e^{-2x}-\frac{e^{-2x}}{4}+\text{const}=-\frac{e^{-2x}}{4}(2x+3)+\text{const}$$

Answer 2

Ich würde das Integral des ersten Summanden plus das Integral des zweiten Summanden nehmen.

Comments

Was genau meinst du mit Summanden es sind ja 2 Produkte vorhanden oder verstehe ich da etwas falsch?

---

es sind ja 2 Produkte vorhanden

Ich sehe nur ein Produkt. Mach eine Summe daraus.

Answer 3

zur Kontrolle:F(x)= -\( \frac{1}{4} \) ·e^-2x·(2x+3).

Comments

Die Stammfunktion habe ich ja auch schon, nur kenn ich den Rechenweg nicht.

Answer 4

Partielle Integration ∫u*dv=u*v-∫v*du

Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz/z´

Grundintegral F(x)=∫e^(x)*dx=e^(x)+C

F(x)=∫(x+1)*e^(-2*x)*dx

u=x+1 → u´=du/dx=1 → du=1*dx

dv=e^(-2*x) → Substitution (ersetzen) z=-2*x → z´=dz/dx=-2 → dx=dz/-2

f(z)=e^(z)

v=∫e^(z)*dz/-2=-1/2*∫e^(z)*dz=-1/2*e^(-2*x)

v=-1/2*e^(-2*x)

...=(x+1)*(-1/2)*e^(-2*x)-∫(-1/2)*e^(-2*x)*1*dx=(-1/2*x-1/2)*e^(-2*x)+1/2*∫e^(-2*x)*dx

...=(-1/2*x-1/2)*e^(-2*x)+1/2*(-1/2)*e^(-2*x)+C

F(x)=e^(-2*x)*[(-1/2*x-1/2)-1/4]+C

F(x)=e^(-2*x)*(-1/2*x-3/4)+C

Probe mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) obere Grenze xo=1 und untere Grenze xu=0

Fläche A=0,5808..FE (Flächeneinheiten)  → Formel F(x)=.. stimmt