Aloha :)
1) Erstmal brauchen wir ein paar Ableitungen:$$f(x)=3x^4+x^3$$$$f'(x)=12x^3+3x^2$$$$f''(x)=36x^2+6x$$$$f'''(x)=72x+6$$
2) Kandidaten für Extrema sind die Nullstellen der ersten Ableitung:$$0\stackrel!=f'(x)=12x^3+3x^2=3x^2(4x+1)\quad\implies\quad x_1=0\quad;\quad x_2=-\frac{1}{4}$$Wir prüfen die Kandidaten durch Einsetzen in die weiteren Ableitungen:$$f''(x_1)=f''(0)=0\quad\implies\quad\text{keine Aussage möglich}$$$$f'''(x_1)=f'''(0)=6\quad\implies\quad\text{Sattelpunkt, kein Extremum}$$Die erste Abletung, die ungleich \(0\) ist, ist die dritte, also eine ungerade Ableitung. Daher liegt bei \(x_1=0\) kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor.$$f''(x_2)=f''\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}>0\quad\implies\quad\text{Minimum}$$Die Funktion hat bei \(x=-\frac{1}{4}\) ein lokales Minimum.
3) Kandidaten für Wendepunkte sind die Nullstellen der zweiten Ableitung:$$0\stackrel!=f''(x)=36x^2+6x=6x(6x+1)\quad\implies\quad x_{w1}=0\quad;\quad x_{w2}=-\frac{1}{6}$$Wir prüfen die Kandidaten durch Einsetzen in die dritte Ableitung:$$f'''(x_{w1})=f'''(0)=6\ne0\quad\implies\quad\text{Wendepunkt}$$$$f'''(x_{w2})=f'''\left(-\frac{1}{6}\right)=-6\ne0\quad\implies\quad\text{Wendepunkt}$$Die Funktion hat zwei Wendepunkte bei \(x=-\frac{1}{6}\) und bei \(x=0\).
~plot~ 3x^4+x^3 ; {-1/4|3/256-1/64} ; {-1/6|3/6^4-1/6^3} ; {0|0} ; [[-0,4|0,2|-0,005|0,002]] ~plot~
