Extrempunkte , Wendepunkte und Wendetangente berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion = \( \frac{1}{16} \)x³-\( \frac{3}{8} \)x²

a) Berechnen die Nullstellen der Funktion . Geben Sie die Vielfachheit der Nullstellen an und deuten Sie diese geometrisch. Geben Sie die Funktionsgleichung von in der linearfaktorschreibweise an

b)Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Extrempunkte von und bestimmen Sie deren Art.

c)Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Wendepunktes von

d)Stellen Sie eine Gleichung der Wendetangente auf.

Problem/Ansatz: Ich komme an den Extrempunkte und Wendepunkte nicht an, weil ich leider diesem Thema nicht ganz verstanden habe. ich werde mich sehr freuen wenn der Antwort klar ist.

Danke im voraus

LG Mahmoud

Answer 1

a) Berechnen die Nullstellen der Funktion. Geben Sie die Vielfachheit der Nullstellen an und deuten Sie diese geometrisch. Geben Sie die Funktionsgleichung von in der linearfaktorschreibweise an.

f(x) = 1/16·x^3 - 3/8·x^2 = 1/16·x·x·(x - 6)

Nullstellen f(x) = 0

x = 0 (2-fach) → Berührstelle der x-Achse also auch gleichzeitig ein Extrempunkt
x = 6 (1-fach) → Einfache Schnittstelle

b) Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Extrempunkte von und bestimmen Sie deren Art.

Extrempunkte f'(x) = 0

f'(x) = 3/16·x^2 - 3/4·x = 3/16·x·(x - 4) = 0 → x = 0 ∨ x = 4

f(0) = 0 → HP(0 | 0)
f(4) = -2 → TP(4 | -2)

c) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Wendepunktes von

Wendepunkte f''(x) = 0

f''(x) = 3/8·x - 3/4 = 0 → x = 2

f(2) = -1 → WP(2 | -1)

d) Stellen Sie eine Gleichung der Wendetangente auf.

f'(2) = - 3/4

t(x) = f'(2)·(x - 2) + f(2)
t(x) = - 3/4·(x - 2) - 1
t(x) = 1/2 - 3/4·x

Answer 2

a) f(x) = 0

Klammere x^2 aus!

b) f '(x) = 0

Überprüfung mit der 2. Ableitung

c) f ''(x) =0

d) t(x) = (x-xW)* f '(xW) + f(xW)

xW = Wendestelle

Versuchs mal!