Stammfunktion einer Exponentialfunktion 10e^(-1/2(x-2))

Question

Aufgabe:

Stammfunktion von f(x)= 10e^(-1/2(x-2)) bilden für die F(0)=0 gilt

Problem/Ansatz:

Ich denke es handelt sich hierbei um eine bestimmte Stammfunktion aufgrund der Angabe F(0)=0

Ich habe schwierigkeiten beim "aufleiten" und bin mir deshalb nicht sicher, ob F(x)=  -1/2*10e^(-1/2(x-2)) und dann fehlt glaube ich nich die Bedingung F(0)=0

Answer 1

Aloha :)

Das Ding sieht eigentlich ganz friedlich aus:$$F(x)=\int10e^{-\frac{1}{2}(x-2)}dx=\int10e^{-\frac{x}{2}+1}dx=10\frac{e^{-\frac{x}{2}+1}}{-\frac{1}{2}}+c=-20e^{-\frac{x}{2}+1}+c$$Die Integrationskonstante \(c\) ist nun so zu wählen, dass$$0\stackrel!=F(0)=-20e+c\implies c=20e$$Dieses \(c\) in die Stammfunktion eingesetzt, liefert:

$$F(x)=-20e^{-\frac{x}{2}+1}+20e=-20e^{-x/2}\cdot e^1+20e=20e\left(-e^{-x/2}+1\right)\implies$$$$F(x)=20e\left(1-e^{-x/2}\right)$$

Comments

Könntest du mir noch erklären was dass F(0)=0 für die Integration bedeutet?

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Eine Stammfunktion \(F(x)\) ist nur bis auf eine Konstante \(c\) eindeutig bestimmt. Wir sollen hier die Kosntane \(c\) so bestimmen, dass \(F(0)=0\) gilt.

Durch die Forderung \(F(0)=0\) wird also die Integrations-Konstante \(c\) festgelegt.

Answer 2

Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz/z´

Grundintegral F(x)=∫e^(x)*dx → F(x)=e^(x)+C

F(x)=∫10*e^[-0,5*(x-2)]*dx=10*∫e^[-0,5*(x-2)]*dx

Substitution (ersetzen) z=-0,5*x+1 abgeleitet z´=dz/dx=-0,5 → dx=dz/-0,5   → f(z)=e^(z)

F(x)=10*∫e^(z)*dz/-0,5=-20*∫e^(z)*dz=-20*e^(z)+C

F(x)=-20*e^(-0,5*(x-2)+C

F(0)=0=-20*e^[-0,5*(0-2)]+C

C=20*e^1

F(x)=-20*e^[-0,5*(x-2)]+20*e

Comments

Integration per Substitution ist hier unnötig, wenn man die Ableitung von f(x)

betrachtet. Du schießt mit Kanonen auf Spatzen.

Man kann F(x) quasi ablesen. :)

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Ich schreibe nur aus meinem Mathe-Formelbuch ab.

Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale,Anwend-ung der Integralrechnung,usw.

Dat tut immer funktionierä!!

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Ich getrau mich ja fast nicht zu fragen, aber was hast Du denn für ein Formelbuch? (Autor, Titel, Verlag, Jahr).

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Frage kostet nix!!

Das is schon über 30 jahre alt und funktioniert immer noch.

hat damsl 15 D-Mark gekostet → umgerechnet 7,50 €

Bartsch (von Dr.-Ing. Hans Jochen Bartsch)

Taschenbuch Mathematischer Formeln

Verlag Harri Deutsch

Thun und Frankfurt/Main

VEB Fachbuchverlag Leipzig 1985  (VEB=Volkseigener Betrieb)

Hat en Doktor geschrieben!!!

Das Buch gibt es heute nicht mehr!

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Den Autor gibt es nicht mehr, das Buch ist vor drei Jahren in 24. Auflage erschienen... Man kann es privat in jeder Buchhandlung kaufen :)

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Danke für diese Information!

Von wem wird das Buch denn gedruckt?

VEB´s gibt´s ja nicht mehr.

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Wer es druckt, weiß ich nicht. Wer es verlegt, auch nicht, aber Letzteres sollte Dir die Buchhandlung sagen können.

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Vielen Dank!!

Werde ich mir notieren,weil das Buch sehr gut ist.

Answer 3

f(x)= 10e^(-1/2(x-2))
einfacher
f(x)= 10 * e ^( -0.5*x+1 )
Eine e-funktin kann nur aus einer Stammfunktion
mit e kommen. Probeweise
[ e ^( -0.5*x+1 ) ] ´ = -0.5 * [ e ^( -0.5*x+1 ) ]
Jetzt muß noch aus - 0.5  => 10 gemacht werden

[ -20 * e ^( -0.5*x+1 ) ] ´ = 10 * e ^( -0.5*x+1 )

Jetzt noch
F ( 0 ) = 0
F ( 0 ) = -20 * e ^( -0.5 *0 +1 ) + C = 0
F ( 0 ) = -20 * e + C = 0
C =  20 * e

F ( x ) = -20 * e ^( -0.5 *x +1 ) + 20 * e
F ( 0 ) = 0

Comments

Leider klappt das nur bei einfachen Exponenten (lineares x).

Bei Potenzen von x wird schon schwieriger.