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Aufgabe:

Stammfunktion von f(x)= 10e^(-1/2(x-2)) bilden für die F(0)=0 gilt


Problem/Ansatz:

Ich denke es handelt sich hierbei um eine bestimmte Stammfunktion aufgrund der Angabe F(0)=0

Ich habe schwierigkeiten beim "aufleiten" und bin mir deshalb nicht sicher, ob F(x)=  -1/2*10e^(-1/2(x-2)) und dann fehlt glaube ich nich die Bedingung F(0)=0

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3 Antworten

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Aloha :)

Das Ding sieht eigentlich ganz friedlich aus:$$F(x)=\int10e^{-\frac{1}{2}(x-2)}dx=\int10e^{-\frac{x}{2}+1}dx=10\frac{e^{-\frac{x}{2}+1}}{-\frac{1}{2}}+c=-20e^{-\frac{x}{2}+1}+c$$Die Integrationskonstante \(c\) ist nun so zu wählen, dass$$0\stackrel!=F(0)=-20e+c\implies c=20e$$Dieses \(c\) in die Stammfunktion eingesetzt, liefert:

$$F(x)=-20e^{-\frac{x}{2}+1}+20e=-20e^{-x/2}\cdot e^1+20e=20e\left(-e^{-x/2}+1\right)\implies$$$$F(x)=20e\left(1-e^{-x/2}\right)$$

Avatar von 152 k 🚀

Könntest du mir noch erklären was dass F(0)=0 für die Integration bedeutet?

Eine Stammfunktion \(F(x)\) ist nur bis auf eine Konstante \(c\) eindeutig bestimmt. Wir sollen hier die Kosntane \(c\) so bestimmen, dass \(F(0)=0\) gilt.

Durch die Forderung \(F(0)=0\) wird also die Integrations-Konstante \(c\) festgelegt.

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Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz/z´

Grundintegral F(x)=∫e^(x)*dx → F(x)=e^(x)+C

F(x)=∫10*e^[-0,5*(x-2)]*dx=10*∫e^[-0,5*(x-2)]*dx

Substitution (ersetzen) z=-0,5*x+1 abgeleitet z´=dz/dx=-0,5 → dx=dz/-0,5   → f(z)=e^(z)

F(x)=10*∫e^(z)*dz/-0,5=-20*∫e^(z)*dz=-20*e^(z)+C

F(x)=-20*e^(-0,5*(x-2)+C

F(0)=0=-20*e^[-0,5*(0-2)]+C

C=20*e^1

F(x)=-20*e^[-0,5*(x-2)]+20*e

Avatar von 6,7 k

Integration per Substitution ist hier unnötig, wenn man die Ableitung von f(x)

betrachtet. Du schießt mit Kanonen auf Spatzen.

Man kann F(x) quasi ablesen. :)

Ich schreibe nur aus meinem Mathe-Formelbuch ab.

Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale,Anwend-ung der Integralrechnung,usw.

Dat tut immer funktionierä!!

Ich getrau mich ja fast nicht zu fragen, aber was hast Du denn für ein Formelbuch? (Autor, Titel, Verlag, Jahr).

Frage kostet nix!!

Das is schon über 30 jahre alt und funktioniert immer noch.

hat damsl 15 D-Mark gekostet → umgerechnet 7,50 €

Bartsch (von Dr.-Ing. Hans Jochen Bartsch)

Taschenbuch Mathematischer Formeln

Verlag Harri Deutsch

Thun und Frankfurt/Main

VEB Fachbuchverlag Leipzig 1985  (VEB=Volkseigener Betrieb)

Hat en Doktor geschrieben!!!

Das Buch gibt es heute nicht mehr!

Den Autor gibt es nicht mehr, das Buch ist vor drei Jahren in 24. Auflage erschienen... Man kann es privat in jeder Buchhandlung kaufen :)

Danke für diese Information!

Von wem wird das Buch denn gedruckt?

VEB´s gibt´s ja nicht mehr.

Wer es druckt, weiß ich nicht. Wer es verlegt, auch nicht, aber Letzteres sollte Dir die Buchhandlung sagen können.

Vielen Dank!!

Werde ich mir notieren,weil das Buch sehr gut ist.

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f(x)= 10e^(-1/2(x-2))
einfacher
f(x)= 10 * e ^( -0.5*x+1 )
Eine e-funktin kann nur aus einer Stammfunktion
mit e kommen. Probeweise
[ e ^( -0.5*x+1 ) ] ´ = -0.5 * [ e ^( -0.5*x+1 ) ]
Jetzt muß noch aus - 0.5  => 10 gemacht werden

[ -20 * e ^( -0.5*x+1 ) ] ´ = 10 * e ^( -0.5*x+1 )

Jetzt noch
F ( 0 ) = 0
F ( 0 ) = -20 * e ^( -0.5 *0 +1 ) + C = 0
F ( 0 ) = -20 * e + C = 0
C =  20 * e

F ( x ) = -20 * e ^( -0.5 *x +1 ) + 20 * e
F ( 0 ) = 0

Avatar von 123 k 🚀

Leider klappt das nur bei einfachen Exponenten (lineares x).

Bei Potenzen von x wird schon schwieriger.

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