Aloha :)
Hier musst du eigentlich nur genau darauf achten, in welcher Basis die Abbildungsmatrizen ihre Eingangsgrößen erwarten bzw. ihre Ausgangsgrößen liefern und diese entsprechend ineinander umrechnen.
$$\mathbf M^{B'_3}_{B'_2}(T)=\mathbf{id}^{B_2}_{B'_2}\cdot\mathbf M^{B_3}_{B_2}(T)\cdot\mathbf{id}^{B'_3}_{B_3}=\left(\mathbf{id}^{B'_2}_{B_2}\right)^{-1}\cdot\mathbf M^{B_3}_{B_2}(T)\cdot\mathbf{id}^{B'_3}_{B_3}$$$$\mathbf M^{B_2}_{B_3}(S)=\mathbf{id}^{B'_3}_{B_3}\cdot\mathbf M^{B'_2}_{B'_3}(S)\cdot\mathbf{id}^{B_2}_{B'_2}=\mathbf{id}^{B'_3}_{B_3}\cdot\mathbf M^{B'_2}_{B'_3}(S)\cdot\left(\mathbf{id}^{B'_2}_{B_2}\right)^{-1}$$
Die Transformationsmatritzen von den gestrichenen Basen in die Standard-Basen kann man sofort hinschreiben, weil die Basisvektoren von \(B'_2\) und \(B'_3\) ja in den Standard-Basen \(B_2\) und \(B_3\) angegeben sind:$$\mathbf{id}^{B'_3}_{B_3}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\mathbf{id}^{B'_2}_{B_2}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right)$$
Jetzt musst du nur noch die Matrix-Multiplikationen durchführen. Zur Kontrolle:
$$\mathbf M^{B'_3}_{B'_2}(T)=\left(\begin{array}{rrr}-6 & 15 & 8\\0 & -3 & -1\end{array}\right)\quad;\quad\mathbf M^{B_2}_{B_3}(S)=\left(\begin{array}{rr}9 & -6\\5 & -3\\7 & -3\end{array}\right)$$
