Aloha :)
Das Quadrat des Abstand eines Punktes \((x;y;z)\) vom Punkt \((1;0;0)\) beträgt:
$$d(x;y;z)=\left\|\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right\|^2=\left\|\begin{pmatrix}x-1\\y\\z\end{pmatrix}\right\|^2=(x-1)^2+y^2+z^2$$Diese Funktion soll minimiert werden, unter der Bedingung, dass der Punkt \((x;y;z)\) auf der Ebene liegt, das heißt unter der Nebenbedingung:$$g(x;y;z)=x+y-z\stackrel!=0$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion proportional zum Gradient der Nebenbedingung sein:$$\operatorname{grad}d(x;y;z)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y;z)\implies\begin{pmatrix}2(x-1)\\2y\\2z\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$Wir erkennen hier sofort:\(\quad\boxed{w=2}\)
Wir dividieren die Koordinatengleichungen, um \(\lambda\) loszuwerden:
$$\frac{2(x-1)}{2y}=\frac{\lambda\cdot1}{\lambda\cdot1}=1\implies 2(x-1)=2y\implies \underline{\underline{y=x-1}}$$$$\frac{2y}{2z}=\frac{\lambda\cdot1}{\lambda\cdot(-1)}=-1\implies\underline{\underline{z=-y}}$$Wir setzen diese gefundenen Forderungen in die Nebenbedingung ein:$$0=x+y-z=x+2y=x+2(x-1)=3x-2\implies 3x=2\implies x=\frac{2}{3}$$Damit sind auch \(y=x-1\) und \(z=-y\) bekannt. Der gesuchte Punkt ist also:$$\boxed{\left(x_0\,|\,y_0\,|\,z_0\right)=\left(\frac{1}{3}\cdot2\,\bigg|\,\frac{1}{3}\cdot(-1)\,\bigg|\,\frac{1}{3}\cdot1\right)}$$
Achja, den Lagrange-Mulltiplikator brauchen wir ja auch noch:$$\lambda=2y=-\frac{2}{3}\implies\boxed{\lambda=\frac{1}{3}\cdot(-2)}$$
