Warum gilt hier nicht das Potenzgesetz 1/a^n = a^-n?

Question

Aufgabe:

\( \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{7}}{\left(\frac{x}{4}\right)^{7}}=\left(\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{4}}\right)^{7}=\left(\frac{4 x}{2 x}\right)^{7}=2^{7}=128 \)

Problem/Ansatz:

Warum gilt hier nicht das Potenzgesetz 1/a^n = a^-n ? Gilt die Regel nicht, wenn man den Kehrwert benutzt?

Answer 1

Das Potenzgesetz 1/aⁿ = a^-n gilt auch hier. Was hat dich veranlasst zu glauben dass es nicht gilt?

Comments

Ich hätte jetzt beim ersten Schritt mit (4/x)-7 multipliziert und dann die beiden Exponenten 7 miteinander subtrahiert. Dann weiter gerechnet mit (4x/2x) = 2. Werden die Exponenten mitgeführt oder habe ich da einen Denkfehler?

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(4/x)^{-7}

Das ist doppelt gemoppelt.

Entweder

mal (4/x)^7

oder

mal (x/4)^{-7}.

Außerdem bezieht sich der Exponent 7 bzw. -7 auch auf die 2 und die 4.

:-)

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Ich hätte jetzt beim ersten Schritt mit (4/x)-7 multipliziert

Das darfst du nicht.

Wenn du den Term \( \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{7}}{\left(\frac{x}{4}\right)^{7}}\) mit \(\left(\frac{4}{x}\right)^{-7}\) multipliziertst, dannn bekommst du

        \(\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{7}}{\left(\frac{x}{4}\right)^{7}}\cdot \left(\frac{4}{x}\right)^{-7}\)

und dieser Term ist nicht mehr gleichwertig zu \(\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{7}}{\left(\frac{x}{4}\right)^{7}}\), wie du leicht durch einsetzen von \(x=1\) ausrechnen kannst.

Wenn du einen Term mit einem anderen Term multiplizierst, dann bekommst du grundsätzlich einen Term, der nicht mehr gleichwertig zu dem ursprünglichen Term ist.

Answer 2

Hallo

doch das Gesetz gilt immer! deshalb kürzt sich ja x^7*x^-7=x^0=1  und 2^2*7*2^-7=2^7

nur würde hier halt direkt gekürzt, wie nd wann man das macht ist egal. wenn du 3/3=1 kürzt denkst du nicht jedesmal 3^1*3^-1=3^0=1 obwohl es richtig ist

du kannst also statt mit dem Kehrwert zu multiplizieren immer mit hoch -1 rechnen, wenn dir das mehr liegt.

Gruß lul

Answer 3

Hallo,

wenn du es mit negativen Exponenten rechnen möchtest:

\(\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{7}}{\left(\frac{x}{4}\right)^{7}}=\left({\frac{x}{2}}\right)^7\cdot\left({\frac{x}{4}}\right)^{-7}=\frac{x^7\cdot x^{-7}}{2^7\cdot4^{-7}}=\frac{4^7}{2^7}\\ =(2^2)^7\cdot2^7=2^{14-7}=2^{7}=128 \)