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(3) (6+4 Punkte) Es sei ein Untervektorraum \( U \) von \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) gegeben durch
$$ U=\left\{\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}: x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n} \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N}\right\} $$
(a) Es seien \( a=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( b=\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert als
\( a_{1}=1, \quad a_{2}=0 \quad \) und \( \quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} \quad \) für alle \( n \in \mathbb{N} \),
\( b_{1}=0, \quad b_{2}=1 \quad \) und \( \quad b_{n+2}=b_{n+1}+b_{n} \quad \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)
Zeigen Sie, dass \( \mathcal{B}=\{a, b\} \) eine Basis von \( U \) ist.
(b) Es sei \( f \in \operatorname{End}(U) \operatorname{mit} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots\right)=\left(x_{2}, x_{3}, x_{4}, \ldots\right) . \) Bestimmen Sie \( M_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f) \).

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1 Antwort

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Hallo

schreib doch mal a einfach hin, mit Pünktchen oder Bezeichnungen für a2n und a2n+1 ,  entsprechend für b, dann zeige dass ein beliebiger Vektor aus U als Linearkombination dargestellt werden kann.

f zu sehen ist dann auch nicht mehr schwer,

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

für b können sie einfach Beispiel machen ,meine idee ist a=(a1,a2,a3.....)b=(b1,b2,b3.....)dann f(a)=(a2,a3,a4....),f(b)=(b2,b3,b4)

Hallo

leider falsch, sorry

nein wie sieht denn a aus?  da steht doch, wie es aufgebaut ist:(1,0,1,0,1,0....)^T oder a2n=0 a2n+1=1 für n aus N0 , kannst du jetzt b)

Gruß lul

für a ich vestehe nicht was du meinst,QaQ Es ist besser, ein Beispiel zu schreiben

warum sind x2n=0,x2n+1=1?

Hallo

ich hatte aus Versehen x statt a geschrieben, aber auch das war falsch:

a1=1 a2=0 folgt  a3=a2+a1=1  a4=a3+a2=1 a5=2, a6=3 a7=5 a8=8  usw.  damit ist a=(1,0,1,1,2,3,5,8,13,21,...) b=(0,1,1,2,3,5,...)

Gruß lul

ja ich vestehen diese a=(1,0,1,1,2,3...)b=(0,1,1,2,3...),dann f(a)=(0,1,1,2,3...),f(b)=(1,1,2,3,5....)Ist das so?

können sie die (a) schreiben ? ich verstehe nicht ,dass du a2n,a2n+1schreibst.

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