Funktion f(x)= x^2*e^{x-1} partiell integrieren?

Question

x^2*e^{x-1} dx Wenn ich diese Aufgabe integriere komme ich auf das Ergebnis:

e^{x-1}(x^2-2x).

Das richtige Ergebnis ist allerdings:

e^{x-1}(x^2-2x+2). Wie komme ich auf die +2 in der Klammer?

f(x)=x^2 f'(x)=2x g'(x)=e^{x-1} g(x)=e^{x-1}

Answer 1

∫ u' * v = u * v - ∫ u * v'
∫ e^{x-1} * (x^2) = e^{x-1} * (x^2) - ∫ e^{x-1} * (2x)
∫ e^{x-1} * (2x) = e^{x-1} * (2x) - ∫ e^{x-1} * 2
∫ e^{x-1} * 2 = e^{x-1} * 2

∫ e^{x-1} * (2x) = e^{x-1} * (2x) - ∫ e^{x-1} * 2 = e^{x-1} * (2x) - e^{x-1} * 2 = e^{x-1} * (2x-2)
∫ e^{x-1} * (x^2) = e^{x-1} * (x^2) - ∫ e^{x-1} * (2x) = e^{x-1} * (x^2) - e^{x-1} * (2x-2) = e^{x-1} * (x^2-2x+2)

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Kannst du mir vielleicht noch erläutern warum du diese Schritte so machst. Ich steh total auf dem Schlauch. Ich verstehe den Sinn der einzelnen Schritte nicht. Ich setze doch meine Werte in diese Formel ein:

f(x)*g '(x)=[f(x)*g(x)]-∫f '(x)*g(x)

Mein Ansatz war hier:

f(x) = x^2 f '(x)=2x g(x) g '(x)=e^{x-1} g (x)=e^{x-1}

x^2 * e^{x-1}=[x^2 * e^{x-1}] - ∫ 2x*e^{x-1}

=e^{x-1}(x^2-2x)+C

Ich hab das Gefühl das ich was grunglegendes nicht verstanden habe. Vielleicht kannst du mir ein Hinweis geben wenn du mein Ansatz siehst.

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Ja dein Ansatz ist zwar richtig allerdings erhältst du als Term

∫ 2x*e^{x-1}

Das ist aber selber wieder rum mit der partiellen Integration zu integrieren, weil es ja wieder ein Produkt ist.

Daher habe ich das neue Integral bei mir auch noch mal Partiell integriert und erst wenn wir eine Funktion bekommen zu der wir leicht eine Stammfunktion finden fangen wir an rückwärts die Sachen einzusetzen.

In der ersten Zeile habe ich ja nur die Formel notiert nach der ich vorgegangen bin. Die nächsten 3 Zeilen dienen nur dazu die Integrale soweit partiell zu integrieren bis wir am Ende nur noch das doppelte der e-Funktion stehen haben was sich bei einer Stammfunktion nicht mehr verändert.

Die Summanden von C habe ich einfach mal weggelassen um das nicht noch unübersichtlicher zu machen.

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Danke für die ausführliche Antwort. Nun habe ich den Sinn verstanden:-) Super!! Danke.