Abschätzen Sie ohne explizite Berechnung des Integrals

Question

Hallochen! Ich kann mit diesen Aufgabe nich so ganz zu Recht kommen:

Schätzen Sie ohne explizite Berechnung des Integrals ab:

\( \int\limits_{0}^{1} \) ln(x+2)dx ≤ln(3).

Ich muss mit Mittelwertsatz das lösen, oder?

Answer 1

Aloha :)

Im Intervall \(x\in[0;1]\) gilt \(\ln(x+2)\le\ln(3)\). Daher gilt für das Integral:$$\int\limits_0^1\ln(x+2)dx\le\int\limits_0^1\ln(3)dx=\ln(3)\cdot(1-0)=\ln(3)$$

Answer 2

Das Integral \( \int_{0}^{1} \ln(x+2)\,\mathrm{d}x\) ist kleiner als der Flächeninhalt das Rechtecks mit Eckpunkten \(\left(0|0\right)\), \(\left(1|0\right)\), \(\left(1|\ln(1+2)\right)\) und \(\left(0|\ln(1+2)\right)\).

Grund ist, dass der Integrand im Intervall \([0,1]\) positiv und monoton ist.