Ebenengleichung, die durch die Punkte A, B und C geht, aufstellen. Welche Lösung ist korrekt?

Question

Aufgabe:

In einer Klausur soll für die Ebene E, die durch die Punkte A( 1| 2| 3), B (4| 5| 1 ) und C ( 0 | 2 | 0 ) geht, eine Ebenengleichung aufgestellt werden. Nach der Klausur verglichen Hanna und Dirk ihre Lösungen. Beurteilen Sie, wer Recht hat.

Hanna: E:x=  (4 5 1 ) + r× (3 3 -2 ) +s× (1 0 3 )

Dirk: E:x= (1 2 3  ) +r× ( -1 0 -3 ) +s× ( 4 3 1 )

Answer 1

Hanna: E:x=  (4 5 1 ) + r× (3 3 -2 ) +s× (1 0 3 )

        \(\vec{x} = \vec{OB} + r\cdot\vec{AB} + s\cdot \vec{CA}\)

Dirk: E:x= (1 2 3  ) +r× ( -1 0 -3 ) +s× ( 4 3 1 )

      \(\vec{x} = \vec{OA} + r\cdot\vec{AC} + s\cdot \vec{CB}\)

Answer 2

Hallo,

eine Ebene E wird eindeutig durch drei Punkte A, B und C (Drei-Punkte-Form):

\(E:\; \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC}\)

Bilde also die Vektoren zwischen den Punkten und vergleiche sie mit den Richtungsvektoren der Ebenengleichungen.

Gruß, Silvia

Answer 3

Beide haben Recht. Die Punkt-Richtungs-Form einer Ebene ist nicht eindeutig.

Man kann verschiedene Stützvektoren und verschiedene Richtungsvektoren nehmen.

:-)

Answer 4

Dreipunktgleichung der Ebene E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

A(1/2/3) → Ortsvektor a(1/2/3)

B(4/5/1) → Ortsvektor b(4/5/1)

C(0/2/0) → Ortsvektor c(0/2/0)

Richtungsvektor m von Punkt A nach Punkt B → b=a+m → AB=m=b-a

AC=m=c-a)

AB=(4/5/1)-(1/2/3)=(3/3/-2)

AC=(0/2/0)-(1/2/3)=(0/0/-3)

Als Probe die Punkte in die Ebenengleichung einsetzen

x-Richtung:1) ....

y-Richtung: 2) ....

z-Richtung: 3) ....

sind 3 Gleichungen mit den beiden unbekannten Parametern r=... und s=...

Die Parameter r und s müssen dann alle 3 Gleichungen erfüllen,dann liegt der Punkt auf der Ebene

Den Rest schaffst du selber.

Infos,vergrößern und/oder herunterladen

Text erkannt:

Gerade is
Homeseparaneter wird \( \mathrm{r}=1 \) gesetzt
Bleichgesetat ergibt: (bx/by/bz)-(ax/ay/a \( -8 i c h t u n g: b x=a x+1 * m x e r_{B}+a t= \)
\( A(a x / a y / a z) \cdot \operatorname{sind} d x \)
\( 8(B x / b y / b z) \) sind die \( x, y \) und \( z \) koordinaten dei
Abstand von 2 punkten in Raun Hfer ist der "Betrag" von d 21 \( 2-y+1)^{2}+r \)
\( S_{k} a \operatorname{lar} p r o d u k t \quad a^{*} b-a x^{*} b x+a y^{*} b y+a z^{*} b z \)
stehen die beiden Vektoren a und das Skalarprodukt gleich NULL \( 1 ! \) Wsenkrecht" aufeinander,so ist
\( -180-a^{*} b-a x^{*} b x+a y^{*} b y+a z^{*} b z=0 \)
Zbenen:
Dreipunktgleichung der Zben \( t \ldots \)
segeben sind die 3 Punkte \( a(\mathrm{ax} / \mathrm{ay} / \mathrm{az}) \) und \( \mathrm{b}(\mathrm{b} \mathrm{x} / \mathrm{by} / \mathrm{bz}) \) und \( \mathrm{c}(\mathrm{cx} / \mathrm{c} \mathrm{y} \)
\( c(c x / c y / c z) \)
\( 1 \mathrm{t}\left(\overrightarrow{6}+\vec{b}-\vec{a}^{b}\right) \) und \( \vec{v}=(\vec{c}-\overrightarrow{8}) \)
Normalengleichung der Ebene \( \mathrm{E}:(\vec{x}-\vec{a})=\overrightarrow{\vec{d}}=0 \quad \mathrm{n}(\mathrm{nx} / \mathrm{ng} / \mathrm{nz}) \) -Nornalen
Der Normalenvektor steht "senkrecht" auf den Richt unesvelen
Koordinatengleichung der Bbene \( \mathrm{E}: \mathrm{a}^{+} \mathrm{x}+\mathrm{b}^{*} \mathrm{y}+\mathrm{c}^{*} \mathrm{z}+\mathrm{d}=0 \)
\( \underline{\text { Vektorprodukt (Kreuzprodukt) }} \)
Hiermit kann man den "Normalenvektor" fur die Bbene bestingen