Beweise den Grenzwertsatz lim(an +bn) = lim an + lim bn = a+b

Question

Aufgabe:

Beweise den Grenzwertsatz

lim (a_n +b_n) = lim a_n + lim b_n  = a+b

n-> ∞                n->∞      n->∞ 

Answer 1

Sei \(\varepsilon > 0\).

Sei \(N_a\in \mathbb{N}\) so dass \(|a-a_n| < \frac{\varepsilon}{2}\) für alle \(n > N_a\).

Sei \(N_b\in \mathbb{N}\) so dass \(|b-b_n| < \frac{\varepsilon}{2}\) für alle \(n > N_b\).

Sei \(N = \max\{N_a, N_b\}\).

Dann ist \(|(a+b)-(a_n+b_n)|<\varepsilon\) für alle \(n > N\).