Question

Ist es möglich das Hornerschema auch bei Aufgaben anzuwenden, wo der Divisor nicht nur aus x + Zahl oder x - Zahl besteht?

Beispielsweise bei der Asymptotenberechnung innerhalb Kurvendiskussion. f(x) = x^3 / 2(x+1)^3

Mir gefällt das Hornerschema sehr viel besser als die Polynomdivison, deshalb liegt die Präferenz bei dem Hornerschema.

Vielen Dank vorab!

Answer 1

siehe Wiki https://de.wikipedia.org/wiki/Horner-Schema#Polynomdivision_mit_einem_Divisor_2._Grades

das lässt sich sicher auf höhere Grade erweitern.

Für Deinen konkreten Fall heißt das$$\frac{x^3}{2(x+3)^3} =\left( 0,5 x^3\right)\space \div \space (x^3+3x^2+3x+1) = \dots \\ \begin{array}{}& x^3& x^2& x^1& x^0\\\hline & 0.5& 0& 0& 0\\ -1)& & & & -0.5\\ -3)& & & -1.5& \\ -3)& & -1.5& & \\\hline & \underline{\underline{0.5}}& -1.5& -1.5& -0.5\end{array} \\ \implies \dots = 0,5 + \frac{-1,5x^2 -1,5x - 0,5}{(x+3)^3} = \frac 12 - \frac{3x^2+3x+1}{2(x+1)^3}$$Man muss dabei nur aufpassen, dass man nach rechts hin irgendwann mit dem Ausfüllen der Zellen aufhören muss.

Comments

Ich habe das mal in eine Antwort umgewandelt. Es ist also prinzipiell möglich mittels Horner Schema eine Polynomdivision durchzuführen.

Wobei man das Problem hat das bei x^3/(2·(x + 1)^3) der Nenner nicht als ausmultipliziertes Polynom vorliegt. Weiterhin sind für die Asymptotenbestimmung hier weder eine richtige Polynomdivision noch das horner Schema notwendig

x^3/(2·(x + 1)^3)

Vertikale Asymptote bei der Nullstelle des Nennerpolynoms x = -1

= x^3/(2·(x^3 + ...))

Für x gegen unendlich einfach durch x^3 kürzen

= 1/(2·(1 + 0))

Da sieht man, dass 1/2 eine horizontale Asymptote ist.

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Danke für die Antworten, hier nochmal das Video was mir sehr geholfen hat. Für denjenigen der später mal auf diese Fragen stoßen sollte. https://www.youtube.com/watch?v=t7PqzaHKFHw

Answer 2

Hallo,

soweit ich weiß, sollte der Divisor beim Horner-Schema ein linearer Term sein.

Gruß, Silvia

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Stimmt nicht, hier die Antwort in einem Video erklärt: https://www.youtube.com/watch?v=t7PqzaHKFHw