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Sei \( V=\mathbb{R}^{3} \) ein \( \mathbb{R} \) -Vektorraum mit der Standardbasis \( S \). Weiter seien \( \phi \in \operatorname{End}(V) \)
gegeben mit
$$ D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \text { . } $$
(a) Zeigen Sie, dass \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{B}: V \times V \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto x^{\mathrm{tr}} B y \) ein Skalarprodukt definiert.
(b) Berechnen Sie \( \phi^{\text {ad }} \) bzgl. \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{B} \), d.h. bestimmen Sie \( D_{S}\left(\phi^{\text {ad }}\right) \).
(c) Begründen Sie, warum \( D_{S}\left(\phi^{\mathrm{ad}}\right) \neq D_{S}(\phi)^{\mathrm{tr}} \) gilt und dies kein Widerspruch zu Be-merkung \( 13.3 \) ist.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis \( B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\end{array}\right) \) benutzen.
