Volumenintegral Rotierendes Dreieck um Rotationsachse mit Abstand m

Question

Aufgabe:

Es gilt das Volumen eines Dreiecks zu berechnen, das sich um eine Rotationsachse dreht, die den Abstand d zur Ankathete des Dreiecks hat. Dabei soll das Volumen nur abhängig vom Öffnungswinkel Alpha, der Grundseite des Dreiecks b sowie des Abstands m von der Rotationsachse sein.

Problem/Ansatz:

Ich bin da mit dem Verhältnis von einem Dreieck zu einem Kreis dran gegangen, da das Volumenintegral vom Torus bekannt ist.

A_Dreieck=0,5*b²*tan(alpha)

A_Kreis=pi*r² , wobei hier r=b/2

A_Dreieck : A_Kreis = 2*tan(alpha)/pi

V_Torus=2*pi²*r²*m=0,5*pi²*b²*m

V_{Rot_Dreieck}=pi*b²*m*tan(alpha)

Somit habe ich das Volumen aus dem Verhältnis der beiden "Grundflächen" raus. Ich bin mir aber nicht ganz sicher ob das richtig ist. Außerdem würde ich es gerne nochmal mit dem Volumenintegral nachrechnen, allerdings bleibe ich schon bei der Parametrisierung hängen. Würdet Ihr das mit Zylinderkoordinaten rechnen?

Gruß Dietrich

Comments

Hallo Dietrich,

es ist unklar, wie \(b\) zur Rotationsachse liegt! Außerdem erwähnst Du zwei Abstände zu derselben, nämlich \(d\) und \(m\).

Ist das so gemeint wie oben in der SKizze? \(\alpha\) ist der gelbe Winkel, \(b\) ist die Seite \(AC\) und ist \(d\) und \(m\) dasselbe?

---

Ja genau, ich hatte im Nachhinein d zum m verändert, dass man nicht 2r = d verwechselt. Da hab ich das eine Mal klein d übersehen. Allerdings ist b die Ankathete und nicht die Hypotenuse, also Strecke AB in der Skizze. Ich sehe gerade, Mathematisch korrekt wäre es, die Strecke c zu nennen, aber ich hoffe man versteht jetzt, wie es gemeint ist.

Answer 1

Hallo Dietrich,

Du kannst die Guldinsche Regeln nutzen, um das Volumen dieses Körpers zu berechnen. Dazu benötigt man den Radius \(r_s\) des Schwerpunkts und die Fläche \(A_{\triangle}\) des Dreiecks.

Allerdings ist b die Ankathete und nicht die Hypotenuse, also Strecke AB in der Skizze.

Fläche \(A_{\triangle}\) und Radius \(r_s\) berechnen sich aus$$A_{\triangle} = \frac 12 b^2 \tan \alpha\\r_s = m + \frac 13 b \tan \alpha$$Und nach Guldin ist das Volumen \(V\) des Rotationskörpers$$V = 2\pi r_s \cdot A_{\triangle} = 2\pi \left( m + \frac 13 b \tan \alpha\right) \cdot \frac 12 b^2 \tan \alpha \\ \phantom{V} = \frac{\pi}3 b^2\left( 3m + b\tan \alpha\right) \tan\alpha$$Falls etwas unklar ist, so frage bitte nach.

Gruß Werner

Comments

Antwort korrigiert ...

---

Vielen Dank. Jetzt habe ich es verstanden