Aloha :)$$f(x;y)=x^2-xy-2y^2\quad\implies\quad\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{2x-y}{-x-4y}$$
Im Punkt \((-1;-1)\) schauen wir in Richtung des Winkels \(\varphi\) und bestimmen die Richtungsableitung in diese Blickrichtung:$$D_\varphi(-1;-1)=\operatorname{grad}f(-1;-1)\cdot\binom{\cos\varphi}{\sin\varphi}=\binom{-1}{5}\cdot\binom{\cos\varphi}{\sin\varphi}=-\cos\varphi+5\sin\varphi$$Die minimale Richtungsableitung finden wir durch Nullsetzen der Ableitung:$$0\stackrel!=\sin\varphi+5\cos\varphi\implies\tan\varphi=-5\implies\varphi=\arctan(-5)$$Der Richtungsvektor \(\vec v\) mit minimaler Richtungsableitung ist daher:$$\vec v=\binom{\cos\arctan(-5)}{\sin\arctan(-5)}=\frac{1}{\sqrt{26}}\binom{1}{-5}$$Da der Gradient in die Richtung des stärksten Anstiegs zeigt, ist klar, dass der entgegengesetzte Gradient in die Richtung des minimalen Anstiegs zeigt. Daher bin ich auf die Normierung \(\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\) gekommen.
Die Richtungsableitung in diese Richtung beträgt:
$$\frac{\partial f}{\partial\vec v}(-1;-1)=-\frac{1}{\sqrt{26}}-\frac{25}{\sqrt{26}}=-\sqrt{26}$$
