a)
Skalarprodukt gleich Null:
1x+2y+3z=0
2x+0y+3z=0 → 3z= -2x einsetzen
1x+2y-2x=0 → x=2y
Eine Variable kann beliebig gewählt werden.
Z.B. z=4 --> x=-6 → y=-3
Eine Lösung ist also \( \begin{pmatrix} -6\\-3\\4 \end{pmatrix} \).
Alle Lösungen sind Vielfache davon:
\( r\cdot\begin{pmatrix} -6\\-3\\4 \end{pmatrix}~~~~~r\in\R \).
b)
Skalarprodukt:
2x+3y-1z=0
5x-1y-2z=0
Zwei Gleichungen mit drei Variablen, d.h. es kann keine eindeutige Losung geben. Das ist such logisch, da unendlich viele Vektoren zu a und b orthogonal sind.
Eine Variable eliminieren, z.B. y. Dazu 2. Gleichung *3.
2x+3y-1z=0
15x-3y-6z=0
Addieren: 17x-7z=0 → 17x=7z
Eine Variable können wir frei belegen. Um einfache Zahlen zu bekommen, wähle ich x=7.
Dann ist z=17.
y mit der ersten Gleichung bestimmen:
3y=z-2x=17-2*7=3 → y=1
Nun die Probe:
2x+3y-1z=0 → 14+3-17=0 ✓
5x-1y-2z=0 → 35-1-34=0 ✓
Eine Lösung ist also\( \begin{pmatrix} 7\\1\\17 \end{pmatrix} \).
Hatten wir für x einen anderen Wert (außer Null) gewählt, ware ein Vielfaches des Lösungsvektors herausgekommen.
Also müssen wir noch mit r multiplizieren.
\(r\cdot \begin{pmatrix} 7\\1\\17 \end{pmatrix}~~~~~r\in\R \)
:-)
