Alle Vektoren bestimmen, die zu gegebenen Vektoren orthogonal sind

Question

Aufgabe:

… alle Vektoren bestimmen, die zu gegebenen Vektoren orthogonal sind, a(12,-4,6), b(6,2,9).  Ich habe das mit dem LGS ausprobiert, 12x-4y+6z=0 und 6x+2y+9z=0 Dann habe ich die zweite Gleichung mit zwei multipliziert und diese mit der ersten verrechnet, so dass ich dann für die zweite Gleichung -8y-12z=0 rausbekommen habe. Dann habe ich für z=t benutzt, aber ich komme nicht auf den richtigen Vektor. Kann mir jemand helfen?

Danke

Answer 1

Es gibt hier nicht die richtige Lösung, sondern es gibt unendlich viele Vektoren und genausoviele Darstellungen davon. Deine Rechnung kann also richtig sein, auch wenn in einer mitgegebenen Lösung etwas anderes steht. Also, was ist denn Deine Lösung? Deine Rechnung ist soweit richtig.

Comments

Meine Lösung ist (t,-3/2t,t)

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Oder umgewandelt in(2,-3,2)

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Du hast Dich beim x verrechnet, es sollte \(t\cdot (-1, -1.5, 1)\) sein. Mach die Probe mit den Gleichungen.

Man schreibt es manchmal auch lieber ohne Brüche, z.B. \(t\cdot (-2, -3, 2)\).

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Vielen Dank, es hat funktioniert

Answer 2

Sehr einfach geht das mit dem Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

[12, -4, 6] x [6, 2, 9] = [-48, -72, 48] = -24·[2, 3, -2]

Alle orthogonalen Vektoren sind also vielfache von [2, 3, -2]. Meist nimmt man einen Vektor, der möglichst kleine ganzzahlige Koordinaten hat. Deswegen benutze ich hier einfach [2, 3, -2].